В матем статистике методы получения наилучшего приближ к исходным данным в виде аппроксимирующей функции назыв регрессионным анализом. Его основн задачами явл установление завис-сти между переменными и оценка(прогноз)значений завис переменной.
При оценивании пар-ров регр.моделей наиболее часто применяется МНК. Его оценки обладают такими стат. св-вами: несмещенность, состоятельность, эффективность. Достоинство МНК: простота мат.выводов и вычислит-х процедур.
Пусть имеем выборку из 4-х точек (n=4):
P1 =(x1, y1),P2 =(x2, y2), P3 =(x3, y3), P4 =(x4, y4)
Предполагаем, что существует теоретическая прямая, которая наилучшим образом проходит через них. Задача: оценить с некоторой точностью, как может проходить эта прямая
Итак, оценки параметров модели парной регрессии согласно МНК будем искать из условия:
Задача оценки параметров парной регр.модели МНК сводится к задаче определения экстремума (минимума) ф-ии 2х аргументов
Система называется системой нормальных уравнений для вычисления оценок параметров уравнения парной регрессии. Упростим систему нормальных уравнений.
|
|
Убеждаемся, что решение системы уравнений будет соответствовать минимуму функции.
Для этого вычисляем значения вторых частных производных функции
Для решения системы выразим из первого уравнения ã0, подставим его во второе уравнение. Получим:
Проанализируем выражение. Для этого вычислим COV(x,y) и σ2(x).Получим:
Проверим выполнение условия несмещенности для оценки. Для этого вычислим числитель выражения.Получаем:
Вычислим дисперсии параметров уравнения регрессии и дисперсию прогнозирования эндогенной переменной.