Система нормальных уравнений и явный вид её решения при оценивании методом наименьших квадратов линейной модели парной регрессии. (30)

Рассмотрим механизм применения МНК на примере модели линейной парной регрессии.

В результате оценивания данной эконометрической модели определяются оценки неизвестных коэффициентов. Метод наименьших квадратов позволяет получить такие оценки параметров a0 и a1, при которых сумма квадратов остатков минимальна:

Для нахождения параметров функции и определения минимума функции двух переменных вычисляются частные производные этой функции по каждому из оцениваемых параметров и приравниваются к нулю.

Если разделить обе части каждого уравнения системы на (-2), раскрыть скобки и привести подобные члены, то получим систему нормальных уравнений для определения оценок параметров модели:

- Это система нормальных уравнений для определения оценок параметров модели.

Убедимся, что решение системы соответствует минимуму функции, для этого вторые производные должны быть равны нулю.

Что и требовалось доказать.

Далее, если решить систему нормальных уравнений, то мы получим искомые оценки неизвестных коэффициентов модели регрессии a0 и a1:

Вывод: указанные выше выражения позволяют по известным значениям наблюдений переменных x и у вычислить оценки параметров модели парно регрессии.