Гетероскедастичность в уравнениях множественной регрессии, ее признаки, последствия и методы устранения

В соответствии со второй предпосылкой теоремы Гаусса-Маркова нужно соблюдение условия гомоскедастичности, или однородности, или одинаковости дисперсий случайных возмущений во всех наблюдениях: . Если это условие не соблюдается, то имеет место гетероскедастичность. Распределение u для каждого наблюдения имеет нормальное распределение и нулевое ожидание, но дисперсия распределений различна. Последствия нарушения условия гомоскедастичности случайных возмущений: 1. Потеря эффективности оценок коэффициентов регрессии, т.е. можно найти другие, отличные от МНК и более эффективные оценки. 2. Смещенность стандартных ошибок коэффициентов в связи с некорректностью процедур их оценки. Это, в свою очередь, может привести к некорректности результатов тестирования статистической значимости параметров линейной модели.

Подход к решению проблемы устранения гетероскедастичности сводится к искусственному преобразованию спецификации модели таким образом, чтобы условие гомоскедастичности выполнялось тождественно. Пусть спецификация модели: Yt=a₀+a₁x_1t+a₂x_2t+a₃x_3t+u_t. Способ 1. Частный случай, когда известны дисперсии случайных возмущений в каждом наблюдении: Делится каждое уравнение наблюдений на свое σ(ut) и получается: Тогда дисперсия случайного возмущения в каждом уравнении наблюдений есть: . Модель в каждом уравнении наблюдения имеет одинаковые дисперсии случайного возмущения равные 1. Недостаток способа – оценить σ(ut) на практике не возможно! Способ 2. Предполагаем, что σ(ut)=λx_kt, где x_kt регрессор «вызывающий» гетероскедастичность. Пусть для примера это регрессор x_2t. Уравнение делится на значение этого регрессора: .Дисперсия случайного возмущения при этом есть: . Уравнения модели имеют постоянную дисперсию случайного возмущения равную λ_2. Если регрессоров, приводящих к гетероскедастичности, несколько, то делается предположение: . Обе части модели делятся на величину Σ│xj│: . Тогда дисперсия случайного возмущения полученной модели есть: . Способ 3. Взвешенный метод наименьших квадратов: Предполагается, что дисперсию случайного возмущения можно представить в виде:

где: – дисперсия единицы веса, λ – заданная константа, например ±0.5; ±1; ±2. Вес случайного остатка вычисляется по правилу: . Если в схеме Гаусса-Маркова не выполняется предпосылка о гомоскедастичности случайных возмущений, то наилучшей линейной процедурой оценки параметров модели является: . где: Р матрица ковариаций случайных возмущений в уравнения наблюдений: