Интервалы прогноза по линейному уравнению регрессии

В прогнозных расчетах по уравнению регрессии определяется предсказываемое значение как точечный прогноз при ,т. е. путем подстановки в уравнение регрессии соответствующего значения х. Однако точечный прогноз явно не реален. Поэтому он дополняется расчетом стандартной ошибки ,т. е , и соответственно интервальной оценкой прогнозно­го значения (у*)

у* .

Чтобы понять, как строится формула для определения вели­чин стандартной ошибки ,обратимся к уравнению линейной регрессии: . Подставим в это уравнение выражение параметра а:

тогда уравнение регрессии примет вид:

.

Отсюда вытекает, что стандартная ошибка зависит от ошибки и ошибки коэффициента регрессии b, т. е.

.(4.16)

Из теории выборки известно, что . Используя в каче­стве оценки остаточную дисперсию на одну степень свободы ,получим формулу расчета ошибки среднего значения пере­менной y.

.(4.17)

Ошибка коэффициента регрессии, как уже было показано, определяется формулой

Считая, что прогнозное значение фактора ,получим следующую формулу расчета стандартной ошибки предсказывае­мого по линии регрессии значения, т. е. :

. (4.18)

Соответственно имеет выражение:

. (4.19)

Рассмотренная формула стандартной ошибки предсказывае­мого среднего значения y при заданном значении характеризу­ет ошибку положения линии регрессии. Величина стандартной ошибки , как видно из формулы, достигает минимума при , и возрастает по мере того, как «удаляется» от в любом направлении. Иными словами, чем больше разность между и x, тем больше ошибка с которой предсказывается среднее зна­чение y для заданного значения .Можно ожидать наилучшие результаты прогноза, если признак-фактор х находится в центре области наблюдений х и нельзя ожидать хороших результатов прогноза при удалении от . Если же значение оказывается за пределами наблюдаемых значений х, используемых при пост­роении линейной регрессии, то результаты прогноза ухудшаются в зависимости от того, насколько отклоняется от области наб­людаемых значений фактора x.

Для нашего примера составит:

При

При

Соответственно составит эту же величину и при . Для прогнозируемого значения 95%-ные довери­тельные интервалы при заданном определяются выражением

т.е. , или .

При , прогнозное значение y составит:

которое представляет собой точечный прогноз.

Прогноз линии регрессии в интервале составит:

Однако фактические значения у варьируют около среднего значения . Индивидуальные значения у могут отклоняться от на величину случайной ошибки , дисперсия которой оценивается как остаточная дисперсия на одну степень свободы . Поэтому предсказываемого индивидуального значения y должна включать не только стандартную ошибку , но и случайную ошибку S.

Средняя ошибка прогнозируемого индивидуального значе­ния y составит:

По данным рассматриваемого примера получим:

Доверительные интервалы прогноза индивидуальных значений y при с вероятностью 0,95 составят: , или 141,57 , это означает, что .

Интервал достаточно широк, прежде всего, за счет малого объ­ема наблюдений.

При прогнозировании на основе уравнения регрессии следу­ет помнить, что величина прогноза зависит не только от стандарт­ной ошибки индивидуального значения у, но и от точности прогноза значения фактора х. Его величина может задаваться на основе анализа других моделей исходя из конкретной ситуации, а также из анализа динамики данного фактора.

Рассмотренная формула средней ошибки индивидуального значения признака y может быть использована также для оценки существенности различия предсказываемого значения исходя из регрессионной модели и выдвинутой гипотезы разви­тия событий.

Предположим, что в нашем примере с функцией издержек выдвигается предположение, что в предстоящем году в связи со стабилизацией экономики при выпуске продукции в 8 тыс. ед. затраты на производство не превысят 250 млн руб. Означает ли это действительно изменение найденной закономерности или же данная величина затрат соответствует регрессионной модели?

Чтобы ответить на этот вопрос, найдем точечный прогноз при х = 8, т. е.

Предполагаемое же значение затрат, исходя из экономичес­кой ситуации, - 250,0. Для оценки существенности различия этих величин определим среднюю ошибку прогнозируемого ин­дивидуального значения:

Сравним ее с величиной предполагаемого снижения издер­жек производства, т. е. 38,93:

Поскольку оценивается значимость только уменьшения зат­рат, то используется односторонний критерий Стьюдента. При ошибке в 5 % с пятью степенями свободы . Следова­тельно, предполагаемое уменьшение затрат значимо отличается от прогнозируемого по модели при 95 %-ном уровне доверия. Однако если увеличить вероятность до 99 %, при ошибке в 1 % фак­тическое значение критерия оказывается ниже табличного 3,365, и рассматриваемое различие в величине затрат статисти­чески не значимо.