Нелинейная регрессия

Если между экономическими явлениями существуют нели­нейные соотношения, то они выражаются с помощью соответ­ствующих нелинейных функций: например, равносторонней ги­перболы , параболы второй степени и др.

Различают два класса нелинейных регрессий:

• регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым па­раметрам;

• регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам.
Примером нелинейной регрессии по включаемым в нее объ­ясняющим переменным могут служить следующие функции:

• полиномы разных степеней , ;

• равносторонняя гипербола .

К нелинейным регрессиям по оцениваемым параметрам от­носятся функции:

• степенная ;

• показательная ;

• экспоненциальная .

Нелинейная регрессия по включенным переменным не таит каких-либо сложностей в оценке ее параметров. Она определяет­ся, как и в линейной регрессии, методом наименьших квадратов (МНК), ибо эти функции линейны по параметрам. Так. в парабо­ле второй степени

.

заменяя переменные , ,получим двухфакторное урав­нение линейной регрессии:

.

для оценки параметров которого, как будет показано в гл. 3, ис­пользуется МНК.

Соответственно для полинома третьего порядка

,

при замене , получим трехфакторную модель линейной регрессии:

,

а для полинома го порядка

,

получим линейную модель множественной регрессии с k объяс­няющими переменными:

.

Следовательно, полином любого порядка сводится к линей­ной регрессии с ее методами оценивания параметров и проверки гипотез. Как показывает опыт большинства исследователей, сре­ди нелинейной полиномиальной регрессии чаще всего использу­ется парабола второй степени; в отдельных случаях — полином третьего порядка. Ограничения в использовании полиномов бо­лее высоких степеней связаны с требованием однородности ис­следуемой совокупности: чем выше порядок полинома, тем боль­ше изгибов имеет кривая и соответственно менее однородна со­вокупность по результативному признаку.

Парабола второй степени целесообразна к применению, если для определенного интервала значений фактора меняется харак­тер связи рассматриваемых признаков: прямая связь меняется на обратную или обратная на прямую. В этом случае определяется значение фактора, при котором достигается максимальное (или минимальное) значение результативного признака: приравнива­ем к нулю первую производную параболы второй степени:

, т. е. и

Если же исходные данные не обнаруживают изменения нап­равленности связи, то параметры параболы второго порядка ста­новятся трудно интерпретируемыми, а форма связи часто заме­няется другими нелинейными моделями.

Применение МНК для оценки параметров параболы второй степени приводит к следующей системе нормальных уравнений:

Решение ее возможно методом определителей:

где определитель системы;

частные определители для каждого из параметров.

При и кривая симметрична относительно высшей точки т. е. точки перелома кривой, изменяющей направление а именно рост на падение. Такого рода функцию можно наблюдать в экономике труда при изучении зависимости заработной платы работников физического труда от возраста — с увеличе­нием возраста повышается заработная плата ввиду одновременного увеличения опыта и повышения квалификации работника. Однако с определенного возраста ввиду старения организма и снижения производительности труда дальнейшее повышение воз­раста может приводить к снижению заработной платы работника. Еслипараболическая форма связи демонстрирует сначала рост, а затем снижение уровня значений результативного признака, то определяется значение фактора, при котором достигается макси­мум. Так, предполагая, что потребление товара А (единиц) в зави­симости от уровня дохода семьи (тыс. руб.) характеризуется урав­нением вида . Приравнивая к нулю первую про­изводную

, найдем величину дохода, при которой потребление максимально, т. е. при тыс. руб.

При и парабола второго порядка симметрична от­носительно своей низшей точки, что позволяет определять мини­мум функции в точке, меняющей направление связи, т. е. сниже­ние на рост. Так, если в зависимости от объема выпуска продук­ции затраты на производство характеризуются уравнением ,то наименьшие затраты достигаются при выпуске продукции ед., т. е. .

В этом можно убедиться, подставляя в уравнение значения х.

Ввиду симметричности кривой парабола второй степени да­леко не всегда пригодна в конкретных исследованиях. Чаще ис­следователь имеет дело лишь с отдельными сегментами парабо­лы, а не с полной параболической формой. Кроме того, параметры параболической связи не всегда могут быть логически истол­кованы. Поэтому если график зависимости не демонстрирует четко выраженной параболы второго порядка (нет смены направ­ленности связи признаков), то она может быть заменена другой нелинейной функцией, например степенной. В частности, в ли­тературе часто рассматривается парабола второй степени для ха­рактеристики зависимости урожайности от количества внесен­ных удобрений. Данная форма связи мотивируется тем, что с уве­личением количества внесенных удобрений урожайность растет лишь до достижения оптимальной дозы вносимых удобрений. Дальнейший же рост их дозы оказывается вредным для растения, и урожайность снижается. Несмотря на несомненную справедли­вость данного утверждения, следует отметить, что внесение в почву минеральных удобрений производится на основе учета достижений агробиологической науки. Поэтому на практике час­то данная зависимость представлена лишь сегментом параболы, что и позволяет использовать другие нелинейные функции. В ка­честве примера рассмотрим табл. 4.3.

Таблица 4.3