Пример. Дана обучающая выборка (см

Дана обучающая выборка (см. Рис.1)

Известно, что образы , а образы

Рис. 1

Требуется по обучающей выборке построить оценки плотностей распределения.

Плотности можно аппроксимировать, применив выражения вида:

Базисные функции считаются ортогональными в области определения образов. Поскольку наши образы , будем использовать многочлены Лежандра, так как областью их ортогональности является интервал .

В одномерном случае эти функции определяются следующим рекуррентным соотношением:

Первые члены функции P(x) имеют следующий вид:

и

Все эти функции ортогональны. Ортонормированные функции определяются следующим выражением:

В иллюстративных целях с ортогональными функциями мы будем обращаться так, как если бы они были ортонормированными.

Множество ортогональных функций для двумерного случая легко получить, формируя произвольные попарные комбинации одномерных функций.

Пусть m=4.

где x₁,x₂ – компоненты образа x.

Очевидно, что порядок формирования этих функций не единственный. Для получения любой функции можно использовать произвольную парную комбинацию функций одной переменной.

Теперь определим коэффициенты разложения . Используя допущение ортонормированности функций, эти коэффициенты можно вычислить по формуле:

Для класса :

N₁- число образов, входящих в класс ,

Для образов класса , применение данной процедуры дает

Аналогично, для образов класса получим:

Аппроксимация плотности распределения такова

Аппроксимация плотности распределения такова: