Определение плоскости Лобачевского

Плоскостью Лобачевского называется мыслимая планиметрия, определяемая аксиомами 1-3 группы I, всеми аксиомами групп II-IV системы аксиом Д. Гильберта и аксиомой параллельности V’ Лобачевского.

Эта модель неевклидовой геометрии была опубликована Н. И. Лобачевским в его известной работе «О началах геометрии» в журнале «Казанский вестник» в 1829-1830 г.г. Созданная им геометрия получила название мыслимой геометрии, т.к. в течение длительного времени в математическом мире отсутствовала общепризнанная реализация этой модели.

То, что существует хотя бы одна прямая, проходящая через точку A вне прямой a и не пересекающая прямую a, было доказано еще Евклидом без ссылки на постулат о параллельности, см. замечание 3, §3. Одна из моделей, в которой через точку A вне прямой a проходит более одной прямой, не имеющей общих точек с a, была построена великим французским математиком Жюль Анри Пуанкаре (1854-1912). Эта модель (опубликована около 1883 г.) представляет множество точек полуплоскости, на которой «прямые» определены так, что реализуются все 15 аксиом планиметрии Лобачевского.

Рассмотри кратко эту модель, опуская доказательства, которые можно найти, например, в [7].

1. Представление основных объектов - точек и прямых в модели Пуанкаре. Пусть l - произвольная прямая евклидовой плоскости. Точками плоскости Лобачевского будем называть все точки одной из полуплоскостей, например, верхней, лежащих по одну сторону от l. Прямыми плоскости Лобачевского назовем либо вертикальные лучи, лежащие в заданной полуплоскости, либо полуокружности с центрами на l, также лежащими в этой полуплоскости, рис.1.

Прямая l представляет «бесконечноудаленные точки» плоскости Лобачевского и называется абсолютом.

3. Углы между прямыми - это обычные евклидовы углы, образованные касательными в точке пересечения полуокружностей, представляющих эти прямые, рис. 1.

4. Движение в модели Пуанкаре плоскости Лобачевского представляется специальными дробно-линейными преобразованиями верхней полуплоскости на себя. Это преобразование сохраняет отношение 4-х точек, через которое определяется функция расстояния между двумя точками в модели Пуанкаре. Мы не будем иллюстрировать свойства конгруэнтности на плоскости Лобачевского, поэтому не приводим формулы, представляющие функцию расстояния. Подробно изложение свойств движения в модели Пуанкаре плоскости Лобачевского можно найти, например, в [7].

В модели, определяемой перечисленными выше условиями 1-4, выполняются все 15 аксиом планиметрии Лобачевского. Эту модель будем обозначать L₂ и ограничимся проверкой нескольких аксиом.

Проверим две первые аксиомы I группы. Они должны определять единственную прямую в модели L₂ по двум любым точкам. Пусть абсолют l - линия OX в евклидовой плоскости. Тогда уравнения окружностей с центром в точках A(x₀, О) Î l и радиусом R имеют вид:

(x-x₀)²+ y² = R² (5)

Две точки B(x₁,y₁), C(x₂,y₂) лежат на некоторой «прямой» a тогда и только тогда, когда их координаты удовлетворяют уравнению (5) для некоторых значений x₀ и R:

(6)

В полученной алгебраической системе уравнений числа x₁, y₁ и x₂, y₂ заданы, а величины x₀ и R - искомые. Раскрывая квадраты и вычитая второе уравнение из первого, находим

x₁² – x₂² + y₁² – y₂² = 2x₀(x₁ – x₂).

Откуда

Это решение определено, если x₁¹x₂, т.е. точки B и C не лежат на общем перпендикуляре x₁=x₂=х к оси OX. (Если x₁=x₂=x, то этот перпендикуляр представляет прямую в L₂, рис. 2(a)). Подставляя найденное значение x₀, в любое из уравнений (6), находим значение радиуса R. Тем самым найдена окружность (5), проходящая через точки B и C. Эта окружность единственна и в модели L₂ представляет единственную же «прямую» a, инцидентную точкам B и C, рис. 2.

Таким образом, аксиомы 1 и 2 группы I выполнены. Аксиома 3 этой группы выполняется очевидным образом.

Оставляя проверку аксиом группы II-IV, займемся проверкой аксиомы V' (параллельности по Лобачевскому) в модели L₂. Пусть a - некоторая прямая и точка AÏa в модели L₂, рис.3. Пусть A_¥ и B_¥ - точки на абсолюте l, представляющие бесконечно удаленные точки прямой a, рис.3. Используя формулу (5) точно так же, как при проверке аксиом 1-2 группы I, заключаем, что существует единственная окружность с центром на l, проходящая через точки A и A_¥, обозначим ее g₁(A,A_¥), и, аналогично, единственная окружность g₂(A,B_¥), рис.3. Полуокружности g₁ и g₂ в верхней полуплоскости L₂ представляют две прямые, параллельные прямой a, т.к. имеют с ней общие точки A_¥=g₁Ça и B_¥=g₂Ça, лежащие на абсолюте l и являющиеся, по определению, бесконечно удаленными точками. Кроме этого, существует еще бесконечно много прямых g, представляемых окружностями, проходящими через точку A внутри вертикального угла, образованного g₁, и g₂, рис 3. Эти прямые не имеют общих точек с a в L₂ даже на абсолюте и называются прямыми, расходящимися с a.