Вывод 3

Система аксиом Г. Вейля определяет абстрактное n-мерное арифметическое евклидово пространство Rⁿ, в котором основные геометрические объекты - прямые, плоскости размерности 2, 3,..., n-1 - задаются системами алгебраических уравнений. При n>3 отсутствует «геометрическая модель» евклидова пространства, отождествляемая с реальными объектами. Объектами R⁴ являются лишь мыслимые объекты, представляемые арифметической моделью и «несущие геометрические свойства» по аналогии с R³. Именно поэтому для определения координат точек «мыслимого» многомерного евклидова пространства требуется аксиома 3 - существования хотя бы одной точки O, для которой определена операция откладывания векторов из E⁴ и которая считается началом координат в R⁴: O(0,0,0)ÎR⁴.

Замечание.

Аксиоматическое обоснование евклидовой геометрии по Вейлю - наиболее распространенная схема построения арифметической модели Rⁿ, применяемой в задачах линейного программирования, исследования операций и т.д.

Модель А. Пуанкаре плоскости Лобачевского.

Основные понятие модели А. Пуанкаре плоскости Лобачевского.

Аксиомы 1-3 I-ой группы аксиом Д. Гилберта вместе с остальными аксиомами II-V групп образуют систему 15 аксиом евклидовой плоскости, см. п.2.2 §2. Заменим аксиому параллельности V этой группы на следующую аксиому.

V’. Аксиома параллельности Лобачевского.

Через любую точку A, не инцидентную прямой a, можно провести в плоскости, определяемой точкой A и прямой a, по крайней мере, две различные прямые, не пересекающиеся с прямой a.