Определение (дедуктивной полноты)

Непротиворечивая система аксиом Т называется дедуктивно-полной, если в определяемой ею теории всякое предложение либо доказуемо, либо опровержимо.

Другими словами, в теории всех высказываний такой системы Т недоказуемые и неопровержимые (неопределенные) утверждения отсутствуют и разложение (1) принимает вид:

И=ДUО (2)

Например, система аксиом Т абсолютной геометрии, состоящая из аксиом Д. Гильберта с исключенной аксиомой П - параллельности прямых, дедуктивно неполна. Действительно, аксиома параллельности П не доказуема и не опровержима в системе Т, так как П не зависит от Т.

Вся система аксиом Гильберта обладает свойством дедуктивной полноты, см., например [7], [8].

В случае дедуктивно неполной системы аксиом можно найти две неизоморфные модели. В качестве примера можно взять систему аксиом абсолютной планиметрии и ее две реализации в модели R² и в модели L₂. Мы уже показали, см. пример п.6.5. §6, что модели R² и L₂ неизоморфны.

Критерием дедуктивной полноты является свойство категоричности системы аксиом.

Определение (категоричности).

Непротиворечивая, система аксиом называется категоричной, если любые ее модели (реализации) изоморфны.

Рассмотренный выше пример системы аксиом абсолютной геометрии представляет примет некатегоричной системы аксиом, так как существуют две неизоморфные реализации L₂ и R² этой системы.

Приведем без доказательства следующий критерий дедуктивной полноты. Если система аксиом категорична, то она и дедуктивно полна.

Обратное утверждение не справедливо. Существуют примеры дедуктивно-полных систем аксиом, у которых имеются неизоморфные реализации, см. далее пример 2 из п.8.8