Использование областей определения функций

Тема Использование свойств элементарных функций при решении уравнений и неравенств.

(Использованы материалы лекций, составленных Ананченко К.О.)

Цель: изучить вопрос об использовании различных свойств функций y = f(x) и y = g(x) при решении уравнений вида f(x) = g(x).

Содержание лекции:

Использование областей определения функций.

Использование множества значений функции.

Исследование промежутков знакопостоянства функции.

Использование промежутков монотонности функций.

Использование свойств четности и нечетности функций.

Использование ограниченности функций.

Использование графика функции.

Использование областей определения функций.

Напомним, что областью определения уравнения f(x) = g(x) называют множество всех значений переменной x, при которых одновременно определены функции y = f(x) и y = g(x).

При работе с областью определения уравнения важно иметь в виду следующие утверждения:

1) если значение переменной x₀ принадлежит области определения уравнения и при подстановке в него вместо переменной x обращает его в верное числовое равенство, то x₀ — корень данного уравнения;

2) если значение переменной х₀ не принадлежит области определения уравнения, то число х₀ не является корнем уравнения;

3) если область определения уравнения — пустое множество, то уравнение корней не имеет.

Пример. Решить уравнение.

Решение. Найдем область определения этого уравнения:

то есть

Эта система неравенств решений не имеет, значит, областью определения уравнения является пустое множество. Следовательно, данное уравнение корней не имеет.

Ответ: решений нет.

В некоторых случаях область определения уравнения — конечное множество, состоящее из небольшого количество элементов. В этом случае можно найти все корни уравнения непосредственной подстановкой этих чисел в уравнение.

Пример 2. Решить уравнение.

Решение. Найдем область определения уравнения:

откуда x = 1.

Поскольку область данного уравнения состоит из одного числа 1, то проверим, является ли это число корнем уравнения: — верное числовое равенство. Значит, число 1 — корень данного уравнения.