Использование свойств четности и нечетности функций

Рассмотрим некоторые возможности применения этих свойств.

Иногда процесс решения уравнений значительно облегчается при применении следующего утверждения: если функцию — четная или нечетная, то корни уравнения = 0 (если они существуют) расположены на координатной прямой симметрично относительно точки 0, то есть если число x₀ корень уравнения = 0, то число - x₀ также корень этого уравнения.

Пример. Решить уравнение.

.

Решение. Пусть , тогда получаем уравнение , откуда . Поскольку функция — четная, то данное уравнение имеет отрицательные корни: .

Ответ: -1; -2; 1; 2.

В некоторых случаях предоставляется возможность воспользоваться таким утверждением: Если уравнение = 0 имеет единственный корень x₀ и — четная функция, то x₀ = 0.

Пример. Найти все значения параметра a, при которых уравнение

,

Имеет ровно один действительный корень.

Решение. Рассмотрим функцию , которая определена на множестве всех действительных чисел. Функция является четной, а уравнение = 0 по условию задачи должно иметь единственный корень, значит, x₀ = 0.

Подставив это значение в исходное уравнение, получим , откуда .

Выполним проверку найденных значений параметра: если , то уравнение = 0 принимает вид

, то есть , которое имеет ровно один корень x₀ = 0.