Использование промежутков монотонности функций

Решение уравнений с использованием данного свойства основывается на следующих утверждениях.

1. Если функция f возрастает или убывает на промежутке Х, то уравнение f(x) = a, где a — некоторое действительное число, может иметь не более одного корня на этом промежутке.

Пример. Решить уравнение.

Решение. Рассмотрим функцию f(x) = , где D(f) = [0,2; +∞).

Покажем, что функция f(x) является возрастающей

x	[0.2; +∞)
5 x -1

x+7

f(x)

Поскольку функция f(x) — возрастающая, то уравнение f(x)=4 может иметь не более одного корня.

Легко заметить, что число 1 является конем данного уравнения.

Ответ: 1.

2. Если одна из функций y = f(x), y = g(x) возрастает, а другая убывает на числовом промежутке Х, то на этом промежутке уравнение f(x) = g(x) либо имеет только один корень (рис. а), либо вообще не имеет корней (рис. б).