Строго стационарные ряды. Основные числовые характеристики. Статистическая взаимосвязь элементов ряда

Ряд , , называется строго стационарным (или стационарным в узком смысле), если для любого () совместное распределение вероятностей случайных величин такое же, как и для , при любых и , таких, что

и .

Другими словами, свойства строго стационарного временного ряда не изменяются при изменении начала отсчета времени. В частности, при из предположения о строгой стационарности временного ряда следует, что закон распределения вероятностей случайной величины не зависит от , а значит, не зависят от и все его основные числовые характеристики (если, конечно, они существуют), в том числе: математическое ожидание E и дисперсия .

Значение определяет постоянный уровень, относительно которого колеблется анализируемый временной ряд , а постоянная характеризует размах этих колебаний.

Важно что, одно из главных отличий последовательности наблюдений, образующих временной ряд, заключается в том, что члены временного ряда являются, вообще говоря, статистически взаимозависимыми. Степень тесноты статистической связи между случайными величинами и может быть измерена парным коэффициентом корреляции

где

.

Если ряд стационарный, то значение не зависит от и является функцией только от ; будем использовать для него обозначение :

.

В частности, . Соответственно, для стационарного ряда и значение коэффициента корреляции зависит только от ; будем использовать для него обозначение ,так что:

В частности, .

Практическая проверка строгой стационарности ряда на основании наблюдения значений в общем случае затруднительна. В связи с этим под стационарным рядом на практике часто подразумевают временной ряд , у которого:

– ;

– ;

– для любых и .

Ряд, для которого выполнены указанные три условия, называют стационарным в широком смысле (слабо стационарным, стационарным второго порядка или ковариационно стационарным) .