2015-05-18
394
Если объясняющие переменные стохастические, то в некоторых случаях все же остается возможным использовать стандартную технику статистических выводов, предназначенную для классической нормальной линейной модели, по крайней мере, в асимптотическом плане (при большом количестве наблюдений).
В этом отношении наиболее благоприятной является:
Ситуация B
– случайная величина 
не зависит (статистически) от 
при всех 
и 
;
– распределение случайной величины 
не является нормальным, но
~ i.i.d., 
, 
и 
;
– 
положительно определенная матрица, 
при 
, где 
положительно определенная матрица;
– 
для всех 
;
– 
по вероятности.
В силу первого предположения, оценка наименьших квадратов вектора коэффициентов 
остается несмещенной, как и в ситуации A. Однако при конечном количестве наблюдений n из-за негауссовости (ненормальности) распределения 
распределения статистики 
,а также 
и 
статистик, будут отличаться от стандартных, получаемых в предположении гауссовости. Чтобы продолжать пользоваться обычной техникой регрессионного анализа, необходимо сослаться на следующие асимптотические результаты, строгий вывод которых можно найти, например, в книге [Hamilton (1994)].
|
|
|
Пусть 
оценка наименьших квадратов вектора по 
наблюдениям, 
матрица значений объясняющих переменных для наблюдений, а 
статистики 
, вычисляемые по наблюдениям. Если выполнены предположения, перечисленные при описании ситуации В, то при
,
,
,
,
где 
количество линейных ограничений на компоненты вектора . Здесь везде имеются в виду сходимости по распределению, т.е. распределения случайных величин, стоящих слева от стрелки, неограниченно сближаются при с распределениями, стоящими справа от стрелки. При этом имеют место приближенные соотношения
, или 
,
(последнее аналогично точному соотношению в гауссовской модели),
,
,
,
Если в ситуации В при имеющемся количестве наблюдений использовать не асимптотические распределения, а распределение Стьюдента 
для статистики (вместо 
) и распределение Фишера 
для статистики (вместо 
для 
), то это приводит к более широким доверительным интервалам (по сравнению с интервалами, построенными по асимптотическим распределениям). Многие исследователи предпочитают поступать именно таким образом, учитывая это обстоятельство и то, что при конечных п распределения Стьюдента и Фишера могут давать лучшую аппроксимацию истинных распределений статистик 
и 
.
