2015-05-18
642
Механизм порождения последовательных наблюдений, заданный соотношениями
, 
,
порождает стационарный временной ряд, если:
– 
;
– случайная величина 
не коррелирована со случайными величинами 
;
– 
;
– 
.
При этом 
.
Рассмотренная модель порождает (при указанных условиях) стационарный ряд, имеющий нулевое математическое ожидание.
Без ограничения общности можно обойтись в текущем рассмотрении моделями авторегрессии, порождающими стационарный процесс с нулевым средним.
Продолжая рассмотрение для ранее определенного процесса 
(с нулевым математическим ожиданием), заметим, что для него
,
так что: 
, и при значениях 
, близких к 1, между соседними наблюдениями имеется сильная положительная корреляция, что обеспечивает более гладкий характер поведения траекторий ряда по сравнению с процессом белого шума. При 
процесс авторегрессии, напротив, имеет менее гладкие реализации, поскольку в этом случае проявляется тенденция чередования знаков последовательных наблюдений. Следующие два графика демонстрируют поведение смоделированных реализаций временных рядов, порожденных моделями авторегрессии с 
при а = 0.8 (первый график) и а = - 0.8 (второй график).
Далее следует обратить внимание на важное обстоятельство. В практических ситуациях «стартовое» значение 
, на основе которого в соответствии с соотношением строятся последующие значения ряда , может относиться к концу предыдущего периода, на котором просто в силу других экономических условий эволюция соответствующего экономического показателя следует иной модели, например, модели с другими значениями 
и 
. Более того, статистические данные о поведении ряда до момента 
могут отсутствовать вовсе, так что значение 
является просто некоторой наблюдаемой числовой величиной. В обоих случаях ряд уже не будет стационарным даже при .
25. Ряд, порожденный моделью 
. Числовые характеристики.
Механизм порождения последовательных наблюдений, заданный соотношениями
, ,
порождает стационарный временной ряд, если:
– ;
– случайная величина не коррелирована со случайными величинами ;
– ;
– .
При этом .
если , то:
,
т.е. при 
значения математического ожидания и дисперсии случайной величины , а также автоковариации 
стабилизируются, приближаясь к своим предельным значениям.
С этой точки зрения, условие можно трактовать как условие стабильности ряда, порождаемого моделью при фиксированном значении . Рассмотрим в этой ситуации наряду с только что исследованным рядом ,
ряд, порождаемый моделью
Имеем
при
Таким образом, ряд 
является предельным для ; ряд «выходит на режим» при . При этом выход ряда на режим происходит тем быстрее, чем ближе и к нулю.
Для ряда
так что 
стационарный ряд (в широком смысле). Кроме того,
так что
т.е. удовлетворяет соотношению
.
Поскольку 
не входит в правую часть выражений для 
, то случайная величина не коррелирована с , т.е. является инновацией (обновлением). В итоге получаем, что стационарный процесс авторегрессии первого порядка, и фактически именно этот процесс имеется в виду, когда говорят о стационарном процессе АR(1).
26. Процесс авторегрессии порядка 
. Основные понятия и определения. Инновация. Оператор запаздывания.
Модель называют процессом авторегрессии первого порядка. Процесс авторегрессии порядка p (в кратком обозначении – AR(p)) определяется соотношениями
, 
,
где 
процесс белого шума с 
. Для простоты будем полагать, что 
для всех 
; при этом говорят, что случайные величины образуют инновационную (обновляющую) последовательность, а случайная величина называется инновацией для наблюдения в момент 
. Такая терминология объясняется тем, что наблюдаемое значение ряда в момент получается здесь как линейная комбинация p предшествующих значений этого ряда плюс не коррелированная с этими предшествующими значениями случайная составляющая , отражающая обновленную информацию, скажем, о состоянии экономики, на момент t, влияющую на наблюдаемое значение .
При рассмотрении процессов авторегрессии и некоторых других моделей удобно использовать оператор запаздывания L (lag operator), который воздействует на временной ряд и определяется соотношением: 
, в некоторых руководствах его называют оператором обратного сдвига и используют для него обозначение B (backshift operator).
Если оператор запаздывания применяется k раз, что обозначается как Lk, то это дает в результате: 
.
Выражение 
можно записать теперь в виде 
, а соотношение, определяющее процесс авторегрессии -го порядка, в виде:
где
.
Для того, чтобы такой процесс был стационарным, все корни алгебраического уравнения: 
(вещественные и комплексные) должны лежать вне единичного круга 
.
