Стационарный процесс AR(1)

При рассмотрении процессов авторегрессии и некоторых других моделей удобно использовать оператор запаздывания L (lag operator), который воздействует на временной ряд и определяется соотношением: , в некоторых руководствах его называют оператором обратного сдвига и используют для него обозначение B (backshift operator).

Если оператор запаздывания применяется k раз, что обозначается как L^k, то это дает в результате: .

Выражение можно записать теперь в виде , а соотношение, определяющее процесс авторегрессии -го порядка, в виде:

где

Для того, чтобы такой процесс был стационарным, все корни алгебраического уравнения: (вещественные и комплексные) должны лежать вне единичного круга . (В частности, для процесса AR(1) имеем , уравнение имеет корень , и условие стационарности равносильно уже знакомому нам условию ) При этом решение уравнения можно представить в виде

, где .

откуда, в частности, следует, что

Для процесса AR(1) имеем , так что (вне зависимости от того, равно нулю или нет)

Из последнего выражения сразу видно, что

28. Стационарный процесс AR(р) с нулевым математическим ожиданием.

Если оператор запаздывания применяется k раз, что обозначается как L^k, то это дает в результате: .

где

Стационарный процесс AR(р) с ненулевым математическим ожиданием удовлетворяет соотношению , или , где . При этом решение уравнения имеет вид .

Таким образом, если стационарный процесс AR(р) задан в виде , то следует помнить о том, что в этом случае математическое ожидание этого процесса равно не , а

Для процесса AR(1) имеем , так что (вне зависимости от того, равно нулю или нет)

Из последнего выражения сразу видно, что

При коррелограмм (график функции для ) отражает показательное убывание корреляций с возрастанием интервала между наблюдениями; при коррелограмм имеет характер затухающей косинусоиды.

29. Корреляция, коррелограмм в AR(р). Система уравнений Юла-Уокера.

Коррелограмм процесса AR(р) при имеет более сложную форму, зависящую от расположения (на комплексной плоскости) корней уравнения . Однако для больших значений автокорреляция хорошо аппроксимируется значением , где и наименьший по абсолютной величине корень уравнения , если этот корень является вещественным и положительным, или заключена в интервале в противном случае. Здесь некоторая постоянная, определяемая коэффициентами .

Если умножить на обе части соотношения, определяющего процесс AR(р), и после этого взять от обеих частей математическое ожидание, то получим соотношение

Разделив обе части последнего на , приходим к системе уравнений Юла-Уокера

Эта система позволяет последовательно находить значения автокорреляций и дает возможность, используя первые уравнений, выразить коэффициенты через значения первых р автокорреляций, что можно непосредственно использовать при подборе модели авторегрессии к реальным статистическим данным.