Испытание гипотезы для оценки линейности связи на основе показателя наклона линейной регрессии

В случае парной линейной регрессии функция показателя накло­на β аналогична функции коэффициента корреляции. Поэтому нуж­но ограничиться только одной проверкой.

H₀: β = 0, то есть между переменными x, y отсутствует линейная связь в генеральной совокупности.

H₁: β ≠ 0, то есть между переменными x, y есть линейная связь в генеральной совокупности.

Задается доверительная вероятность p. п — объем парной выбор­ки. Проведем двустороннюю проверку. В этом случае а = (1 — р)/2. По таблице t -распределения находим t_{α ; n-2}. Граничные точки ± t_{α ; n-2} .

Дисперсия распределения остатков вдоль линии регрессии , S – стандартная ошибка.

Стандартная ошибка коэффициента b:

Статистика t = b/S_b.

Пример 5. Вернемся к примерам 1, 2. Проверим гипотезу о наличии линейной связи между переменными x, у в генеральной со­вокупности. Доверительная вероятность p = 95%. n = 5.

H₀: β = 0, то есть между переменными x, y отсутствует линейная связь в генеральной совокупности.

H₁: β ≠ 0, то есть между переменными x, y есть линейная связь в генеральной совокупности.

Проведем двустороннюю проверку.

α = (1 – р)/2 = (1 – 0,95)/2 = 0,025.

По таблице t -распределения находим t_{α ; n-2} = t_{0,025 ; 5-2} = 3,182. Граничные точки ±3,182.

Статистика t = b/S_b = -0,11/0,03 ≈ 3,667.

Отметим значения на числовой оси.

H0 H1 2,5%	H0 95 %	H0 H1 2,5%
-3,667	-3,182	3,182

Мы отклоняем гипотезу H ₀ и принимаем гипотезу H ₁на уровне значимости 5%. Между переменными x, y есть линейная связь в гене­ральной совокупности.

Замечание. Для расчета стандартной ошибки вместо формулы можно воспользоваться статистической функцией СТОШУХ (изв_знач_ y; изв_знач_ x) мастера функций f_x пакета Excel.