2015-05-18
394
Согласно теореме Гаусса-Маркова, Метод наименьших квадратов, приведённый к линейному преобразованию матриц или к системе линейных уравнений, обеспечивает наилучшую несмещенную, эффективную и сходящуюся к пределу (“состоятельную”) оценку вектора параметров, т.е. наилучшее качество линейной модели, если соблюдаются условия (по [ 1 ]):
1. Линейная модель соответствует действительности.
2. Существует дисперсия регрессора.
3. Математическое ожидание возмущения равно нулю: E(ui) = 0.
4. Возмущение имеет нормальное распределение.
5. Равенство ожидаемых значений дисперсий возмущений в разных диапазонах Х: E(u2) = Const. Это свойство называется гомоскедастичность, его несоблюдние – гетероскедастичность. Отклонение от гомоскедастичности проверяется по тесту Голдфелда-Квандта
GQ = Se12/Se22 = ДИСП Ост1 / ДИСП Ост2
где ДИСП Ост1 и ДИСП Ост2 – дисперсии остатков (отклонений) в первой и последней трети (или в половинах) диапазона Х; большая дисперсия делится на меньшую; GQ сравнивают с критерием Фишера для заданных уровня значимости и количества измерений; нормально GQ <4,35.
6. Отсутствие автокорреляции, т.е. взаимозависимости возмущений. Её оценивают, вычисляя статистикуДарбина-Уотсона остатков е:
для которой вычислены критические значения при различных уровнях значимости и числе измерений. Приблизительно DW =0…1 означает положительную автокорреляцию, 3…4 отрицательную автокорреляцию, DW =1,5…2,5 позволяет принять гипотезу об отсутствии автокорреляции, DW =1…1,5 и DW =2,5…3 не позволяют принять гипотезу о наличии или отсутствии автокорреляции. Наличие автокорреляции означает, что аппроксимирующая функция подобрана неверно, или же требуется применение других методов и моделей. Автокорреляция разобрана в разделе …
Статистику Дарбина-Уотсона можно вычислить по формуле
DW = 2(1-Rавт),
где Rавт - коффициент автокорреляции, вычисляемый с помощью функции КОРРЕЛ: задать в окне Массив1 диапазон остатков с номерами 1: n- 1, а в окне Массив2 диапазон 2: n.
Понятия “гетероскедастичность” и “автокорреляция” актуальны, если массивы данных упорядочены, что имеет место для временных рядов. “Пространственные” данные можно искусственно упорядочить, например, отсортировав их по возрастанию какой-либо переменной; при этом можно выявить кластеры с аномальной дисперсией остатков, что может означать неоднородность выборки или неадекватность модели.
Контрольные вопросы.
1. Общий вид уравнений парной и множественной регрессии.
2. Нелинейные уравнения регрессии.
3. Формулы для вычисления коэффициентов парной линейной регрессии и их погрешностей.
4. Метод наименьших квадратов (МНК) и система нормальных уравнений парной линейной регрессии.
5. Матричный метод МНК
6. Теорема Гаусса-Маркова: формулировка и условия.
7. Показатели качества эконометрической модели: коэффициент детерминации R2, статистика Фишера F, t -статистики Стьюдента для коэффициентов уравнений.
8. Показатели качества эконометрической модели: тест Дарбина-Уотсона на автокорреляцию DW, тест Голдфелда-Квандта на гетероскедастичность GQ.
9. Гетероскедастичность случайного возмущения. Причины, последствия.
10. Что такое ВМНК и ОМНК и когда они применяются.
