2015-05-18
857
При гетероскедастичности и автокорреляции остатков часто используется традиционный МНК заменять обобщенным МНК.
Обобщенный МНК применятся к преобразованным данным и позволяет получать несмещенные и эффективные оценки.
Рассмотрим сначала коррекцию гетероскедастичности.
Как и раньше, предполагается, что м.о. остатков равно 0, а дисперсия их пропорциональная некоторой величине К, т.е.:
Как и раньше, будем предполагать, что среднее значение остаточных величин равно нулю. А вот дисперсия их не остается неизменной для разных значений фактора, а пропорциональна величине 
, т.е.
,
Где 
- дисперсия ошибки при конкретном i-м значении фактора;
- постоянная дисперсия ошибки при соблюдении предпосылки о гомоскедастичности остатков;
- коэффициент пропорциональности, меняющийся с изменением величины фактора, что и обусловливает неоднородность дисперсии.
При этом предполагается, что 
неизвестна, а в отношении величины К выдвигаются определенные гипотезы, характеризующие структуру гетероскедастичности.
В общем виде для уравнения
Модель примет вид: 
В ней остаточные величины гетероскедастичны. Предполагая в них отсутствие автокорреляции, можно перейти к уравнению с гомоскедастичными остатками, поделив все переменные, зафиксированные в ходе i-го наблюдения на 
. Тогда дисперсия остатков будет величиной постоянной, т.е. 
.
Иными словами, от регрессии у по x мы перейдем к регрессии на новых переменных: 
.
Уравнение регрессии примет вид:
Исходные данные для данного уравнения будут иметь вид:
По отношению к обычной регрессии уравнение с новыми, преобразованными переменными представляет собой взвешенную регрессию, в которой переменные у и x взяты 
.
Оценка параметров нового уравнения с преобразованными переменными приводит к взвешенному методу наименьших квадратов, для которого необходимо минимизировать сумму квадратов отключений вида
Соответственно получим следующую систему нормальных уравнений:
Если преобразованные переменные x и у взять в отклонениях от средних уровней, то коэффициент регрессии b можно определить как
При обычном применении метода наименьших квадратов к уравнению линейной регрессии для переменных в отклонениях от средних уровней коэффициент регрессии b определяется по формуле
Как видим, при использовании обобщенного МНК с целью корректировки гетероскедастичности коэффициент регрессии b представляет собой взвешенную величину по отношению к обычному МНК с весами 1/К.
Аналогичный подход возможен не только для уравнения парной, но и для множественной регрессии. Предположим, что рассматривается модель вида
,
Для которой дисперсия остаточных величин оказалась пропорциональна 
. 
- представляет собой коэффициент пропорциональности, принимающий различные значения для соответствующих 
значений факторов 
и 
. Ввиду того, что
,
Рассматриваемая модель примет вид
,
Где ошибки гетероскедастичны.
Для того чтобы получить уравнение, где остатки 
гомоскедастичны, перейдем к новым преобразованным переменным, разделив все члены исходного уравнения на коэффициент пропорциональности К. уравнение с преобразованными переменными составит
Это уравнение не содержит свободного члена. Вместе с тем, найдя переменные в новом преобразованном виде и применяя обычный МНК к ним, получим иную спецификацию модели:
Параметры такой модели зависят от концепции, принятой для коэффициента пропорциональности 
. В эконометрических исследованиях довольно часто выдвигается гипотеза, что остатки 
пропорциональны значениям фактора. Так, если в уравнении
Предположить, что 
, т.е. 
и 
, то обобщенный МНК предполагает оценку параметров следующего трансформированного уравнения:
Если предположить, что ошибки пропорциональны 
, то модель примет вид:
Применение в этом случае обобщенного МНК приводит к тому, что наблюдения с меньшими значениями преобразованных переменных х/К имеют при определении параметров регрессии относительно больший все, чем с первоначальными переменными. Вместе с тем следует иметь в виду, что новые преобразованные переменные получают новое экономическое содержание и их регрессия имеет иной смысл, чем регрессия по исходным данным.
