Оценка тесноты связи расходов на железнодорожные перевозки и длины дороги с помощью показателей корреляции и детерминации

Уравнение регрессии всегда дополняется показателем тесноты связи. При использовании линейной регрессии в качестве такого показателя выступает линейный коэффициент корреляции r _{xy .} Существуют различные формы записи линейного коэффициента корреляции. Наиболее часто встречаются следующие:

r _{xy =} b(S _x /S _y) = M _xy /(S _x \ S _y) = ( - )/ S _x S _y.

Как известно, линейный коэффициент корреляции находится в пределах: -1 ≤ r _xy ≤ 1. Если коэффициент регрессии b > 0, то 0 ≤ r _xy ≤ 1, и, наоборот, при b<0, -1 ≤ r _xy ≤ 0.

Используя первое выражение для r _{xy ,} рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции:

r _{xy =} b(S _x /S _y) = 3,2110 (2191,1976/8792,3929) = 0,8002.

Значение коэффициента корреляции показывает, что связь прямая, то есть с увеличением длины дороги пассажирооборот железнодорожных перевозок увеличивается.

Для оценки качества подбора линейной функции необходимо определить квадрат линейного коэффициента r _xy ², который называется коэффициентом детерминации. Он характеризует долю дисперсии (разброса) пассажирооборота железнодорожных перевозок y, объясняемую зависимостью от длины дороги x, в общей дисперсии, возникающей за счет влияния множества факторов не учтенных функцией регрессии.

Соответственно величина 1 - r _xy ² характеризует долю дисперсии пассажирооборота железнодорожных перевозок y, вызванную влиянием остальных не учтенных в математической модели факторов.

Определим коэффициент детерминации:

r _yx ² = (0,8002)² = 0,6403.

Следовательно, изменение результата (пассажирооборот железнодорожных перевозок) на 64,0% объясняется изменением фактора (длины дороги).

В отличие от линейной регрессии нелинейная регрессия характеризуется не коэффициентом корреляции, а индексом корреляции R_xy и индексом детерминации R _xy ²:

R _xy = (1 – (S_ост²/S _y ²)^1/2,

где

S_ост² = ((y₁ - ŷ_x1)² + (y₂ - ŷ_x2)² +....+ (y₇ - ŷ_x16)²)/ n;

S _y ² = ((y₁ - )² + (y₂ - )² +....+ (y₇ - )²)/ n.

Величина данного показателя находится в пределах

0 ≤ R _xy ≤ 1, причем чем она ближе к единице, тем теснее связь между пассажирооборотом железнодорожных перевозок и длиной дороги, тем более надежное уравнение регрессии.

Расчеты показателей степени связи между пассажирооборотом железнодорожных перевозок и длиной дороги при степенной модели показывают, что она несколько лучше линейной модели.

Аналогичная оценка для показательной функции регрессии находится на уровне линейной, несколько хуже степенной.