Решение

Будем использовать формулу: , где - нормированная функция Лапласа (значения берутся из таблицы). По условию также известно, что мм.

Получаем вероятность, что отклонение его диаметра от проектного размера не превышает 2 мм:

Ответ: 78,88% стандартных валиков.

ЗАДАЧА 2

В результате эксперимента получены данные, записанные в виде статистического ряда. Требуется:

1) записать значения результатов эксперимента в виде
вариационного ряда;

2) найти размах варьирования и разбить его на 9 интервалов;

3) построить полигон частот, гистограмму относительных
частот и график эмпирической функции распределения;

4) найти числовые характеристики выборки ;

5) приняв в качестве нулевой гипотезу : генеральная совокупность, из которой извлечена выборка, имеет нормальное
распределение, проверить ее, пользуясь критерием Пирсона
при уровне значимости ;

6) найти доверительные интервалы для математического
ожидания и среднего квадратичного отклонения при надежности

17,1	21,4	15,9	19,1	22,4	20,7	15,1	18,2	20,3	16,7
19,1	20,5	14,2	16,9	17,8	18,3	19,1	21,4	14,5	16,1
16,2	17,3	22,5	19,9	21,1	18,5	17,1	22,4	20,8	19,8
17.5	19,2	18.5	15,7	14,0	18,8	19,5	21,6	15,3	17,3
18,8	14.3	17,1	19,5	16,3	15,4	21,3	14,3	20,5	16,4
15.6	17,4	21,3	22,1	20,1	23,0	18,9	15,9	18,2	20,7
16,4	18,7	14,3	18,2	19,1	18,4	17,5	19,3	22,7	19,6
22,8	17,5	20,2	15,5	21,6	18,1	16,6	18,3	15,5	17,7
20,8	16,6	18,3	21,7	17,4	17,8	18,5	14,0	21,9	16,9
18,9	14,7	19,5	20,9	15,8	18,9	15,6	21,1	20,2	15,1

Решение. Запишем значения результатов эксперимента в виде
вариационного ряда.

варианта	частота
14,0	2,0
14,2	1,0
14,3	3,0
14,5	1,0
14,7	1,0
15,1	2,0
15,3	1,0
15,4	1,0
15,5	2,0
15,6	2,0
15,7	1,0
15,8	1,0
15,9	2,0
16,1	1,0
16,2	1,0
16,3	1,0
16,4	2,0
16,6	2,0
16,7	1,0
16,9	2,0
17,1	3,0
17,3	2,0
17,4	2,0
17,5	3,0
17,7	1,0
17,8	2,0
18,1	1,0
18,2	3,0
18,3	3,0
18,4	1,0
18,5	3,0
18,7	1,0
18,8	2,0
18,9	3,0
19,1	4,0
19,2	1,0
19,3	1,0
19,5	3,0
19,6	1,0
19,8	1,0
19,9	1,0
20,1	1,0
20,2	2,0
20,3	1,0
20,5	2,0
20,7	2,0
20,8	2,0
20,9	1,0
21,1	2,0
21,3	2,0
21,4	2,0
21,6	2,0
21,7	1,0
21,9	1,0
22,1	1,0
22,4	2,0
22,5	1,0
22,7	1,0
22,8	1,0
23,0	1,0

Найдем размах варьирования .

Разобьем его на 9 интервалов, длина каждого будет .

Получим интервальный ряд:

интервал	начало	конец	частота
			8,0
			12,0
			10,0
			13,0
			17,0
			12,0
			11,0
			10,0
			7,0

Построим полигон частот:

Построим гистограмму относительных частот. Вычислим относительные частоты , плотности относительных частот , а также накопленные относительные частоты (для следующего графика).

Строим гистограмму:

Построим график эмпирической функции распределения.

Найдем числовые характеристики выборки .

Для расчета характеристик перейдем к простому вариационному ряду, в качестве вариант выберем середины интервалов.

Выборочная средняя .

Выборочная дисперсия

Выборочная исправленная дисперсия

Выборочное исправленное среднеквадратическое отклонение

Расчеты в таблице ниже.


14,5		122,3048
15,5		101,6172
16,5		36,481
17,5	227,5	10,7653
18,5	314,5	0,1377
19,5		14,2572
20,5	225,5	48,0491
21,5		95,481
22,5	157,5	117,0967
Сумма		546,19

Примем в качестве нулевой гипотезу : генеральная совокупность, из которой извлечена выборка, имеет нормальное распределение с параметрами . Проверим ее, пользуясь критерием Пирсона при уровне значимости .

Пронормируем случайную величину , то есть перейдем к величине , вычислим концы интервалов по формулам , . Вычислим теоретические (гипотетические частоты) , где , - вероятность попадания в интервал , - функция Лапласа. Для нахождения значений составим расчетную таблицу:


	-1,8775	-1,4518	-0,5000	-0,4267	0,0733	7,3282	0,0616
	-1,4518	-1,0260	-0,4267	-0,3476	0,0792	7,9155	2,1076
	-1,0260	-0,6003	-0,3476	-0,2258	0,1217	12,1718	0,3875
	-0,6003	-0,1746	-0,2258	-0,0693	0,1566	15,6560	0,4506
	-0,1746	0,2512	-0,0693	0,0992	0,1685	16,8450	0,0014
	0,2512	0,6769	0,0992	0,2508	0,1516	15,1609	0,659
	0,6769	1,1027	0,2508	0,3649	0,1141	11,4140	0,015
	1,1027	1,5284	0,3649	0,4368	0,0719	7,1880	1,1001
	1,5284	1,9542	0,4368	0,4747	0,0379	3,7864	2,7275
Сумма							7,5103

Наблюдаемое значение критерия вычислим по формуле

По таблице критических значений при уровне значимости и числе степеней свободы найдем . Так как , можно принять нулевую гипотезу о нормальном распределении при данном уровне значимости.