Затем из каждого оставшегося уравнения вида

()

вычитается полученное уравнение (3), умноженное на коэффициент a_i1. В итоге, после выполнения первого шага прямого хода система уравнений примет следующий вид

(4)

где

На втором шаге указанные выше действия повторяются над (n - 1) уравнениями системы (4), всеми кроме первого, с целью исключения переменной x₂, где .

В итоге получим

где

Повторяя шаги прямого хода (n - 1) раз, окончательно получим систему уравнений треугольного вида

(5)

где

При программной реализации прямого хода используется расширенная матрица коэффициентов A¢

для которой элементы имеют следующий смысл

1) - начальные значения;

2) - промежуточные значения;

3) - конечные значения.

Для определения элементов матрицы A¢ на некотором k-ом шаге

()

используются следующие расчетные формулы

Обратный ход метода Гаусса. После приведения исходной системы уравнений (1) к треугольному виду (5) вычисляются значения корней по следующим формулам

Таким образом, расчетные формулы обратного хода имеют вид

Итерационные методы

При решении систем уравнений высокого порядка с разреженными матрицами коэффициентов, которые характерны для большинства задач автоматизации проектирования сложных систем, наиболее эффективно применение итерационных методов. Такие методы (например, последовательных приближений и Зейделя) позволяют получать значения корней системы с заданной точностью в виде последовательности

некоторых векторов, сходящихся к точному решению X*. Эффективность применения итерационных методов зависит от удачного выбора начального приближения и скорости сходимости процесса вычислений.

Для реализации итерационных методов требуется меньшее количество вычислительных операций (около n²) и соответствующих затрат машинного времени. Важным преимуществом итерационных методов также является несущественное влияние погрешностей вычислений, так как любое ошибочное приближение может рассматриваться как новый начальный вектор.

Метод последовательных приближений Якоби (итераций)

Пусть дана система линейных уравнений, для которой диагональные элементы

Тогда переменную x₁ можно выразить через первое уравнение, - через второе уравнение и т. д.

(6)

где и

Система (6) называется системой линейных уравнений, приведенной к нормальному виду. Матричная форма записи такой системы представляется как

(7)

где

При решении системы (11) за нулевое приближение корней может быть принят столбец свободных членов, т.е. . Любое k-е приближение ( вычисляется по формуле

Если последовательность приближений , , ,..., ,... имеет предел , то этот предел является точным решением системы уравнений (1). Вычисления продолжаются до тех пор, пока значения не станут достаточно близкими к для всех Формальное условие прекращения итерационного процесса записывается как