Интегрирование рациональных дробей

Пусть дан интеграл вида

,

где и - полиномы (многочлены) степени и соответственно. Подынтегральная функция в этом случае будет называться правильной рациональной дробью, если и неправильной рациональной дробью, если . Интеграл в общем случае можно вычислить, если только . Если , то необходимо провести деление полинома на полином . В результате получается выражение вида:

, (5)

где полином называется целой частью исходного выражения, а - остатком от деления. Второе слагаемое в (5) при этом является правильной дробью, т.е. .

Пример 6. Представить неправильную дробь

в виде целой части и правильной дроби.

Делаем деление:

Таким образом:

.

Интегрирование целой части в (5) не представляет труда. Для интегрирования правильной дроби, если , необходимо разложение второго слагаемого в (5) на более простые дроби. Считая, что коэффициент при в равен единице (если он не равен единице, то этого можно добиться очевидным образом), полином с вещественными коэффициентами можно, как доказывается в алгебре, единственным образом записать в виде:

(6)

где - натуральные числа, - вещественные числа, а множители вида не имеют вещественных корней (т.е. дискриминант отрицателен). Тогда второе слагаемое в (5) можно представить в виде:

(7)

где - константы.

Как видно из (7), каждому множителю в правой части (6) соответствует столько дробей в правой части (7), какова кратность этого множителя.

Константы , , находятся из системы уравнений, которая получается следующим образом. Все дроби в правой части равенства (7) приводятся к общему знаменателю. В числителе правой части собираются слагаемые с одинаковыми степенями и коэффициенты при них приравниваются к коэффициентам при в соответствующих степенях в полиноме . В результате получается система уравнений для определения искомых констант.

Пример 7. Вычислить интеграл

Т.к. степень полинома в числителе больше степени полинома в знаменателе, то разделим числитель на знаменатель, предварительно перемножив сомножители в знаменателе:

В результате интеграл перепишется в виде:

.

Первый интеграл легко вычисляется: он равен . Прежде чем вычислять второй интеграл (обозначим его ), необходимо выяснить, вещественны или комплексны корни уравнения

. (8)

От вида корней зависит вид разложения подынтегральной функции в по формуле (7). Т.к. корни уравнения (8) комплексные (дискриминант ), то разложение подынтегральной функции в по формуле (7) имеет вид:

После приведения правой части равенства к общему знаменателю получим:

или

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой части равенства, получим систему уравнений:

Решая эту систему, найдем:

, , , .

Таким образом,

.

В последнем интеграле знаменатель приводим к полному квадрату:

.

В результате интеграл дает арктангенс. Окончательно получим: