Однородные уравнения

Рассмотрим еще один класс уравнений, которые путем подстановки сводятся к уравнениям с разделяющимися переменными.

Определение. Функция называется однородной функцией нулевой степени, если для любого выполняется равенство

. (15)

Иными словами, однородная функция нулевой степени не изменяется при умножении и на одно и то же число.

Определение. Дифференциальные уравнения , правая часть которых является однородной функцией нулевой степени называются однородными уравнениями.

Однородные уравнения решаются с помощью замены . Эта замена приводит однородные уравнения к уравнениям с разделяющимися переменными.

Пример 3. Решить уравнение .

Решение. Разрешим данное уравнение относительно :

.

Это уравнение однородно, т.к. его правая часть – однородная функция нулевой степени.

Сделаем подстановку

,

тогда

,

,

,

,

,

,

.

Получили уравнение с разделенными переменными. Проинтегрируем обе части этого уравнения:

,

.

Сделаем обратную замену .

,

,

,

- общий интеграл.

Ответ: .

.