Задание 4. Решите систему линейных уравнений тремя способами

Решите систему линейных уравнений тремя способами:

а) по формулам Крамера;

б) с помощью обратной матрицы;

в) методом Гаусса.

а) по формулам Крамера.

Решение:

Составим четыре определителя:

– главный, составлен из коэффициентов при неизвестных.

– составлен из главного, заменой столбца коэффициентов при х на столбец свободных членов, аналогично:

;

Вычисляем составленные определители по правилу треугольников:

2·2·4 + (-1)·2·1 + 1·3·(-1) - 1·2·1 - 2·2·(-1) - (-1)·3·4 = 16 – 2 – 3 – 2 + 4 + 12 = 25 ≠ 0

= 3·2·4 + (-1)·2·(-2) + 1·4·(-1) - 1·2·(-2) - 3·2·(-1) - (-1)·4·4 = 24 + 4 – 4 + 4 + 6 + 16 = 50

= 2·4·4 + 3·2·1 + 1·3·(-2) - 1·4·1 - 2·2·(-2) - 3·3·4 = 32 + 6 – 6 – 4 + 8 – 36 = 0

= 2·2·(-2) + (-1)·4·1 + 3·3·(-1) - 3·2·1 - 2·4·(-1) - (-1)·3·(-2) = - 8 – 4 – 9 – 6 + 8 – 6 = - 25

Находим решение по формулам Крамера:

; ; ;

; ; .

Проверка:

Ответ: .

б) с помощью обратной матрицы.

Решение:

Составим три матрицы:

– из коэффициентов при неизвестных.

– столбцовая из неизвестных.

– из свободных членов.

Систему можно записать в виде: , где матрица Х находится по формуле . Таким образом, нужно найти матрицу обратную для матрицы А.

Находим определитель матрицы А:

≠ 0 => А невырожденная.

Составим алгебраические дополнения элементов матрицы А:

;

;

Составим матрицу В из полученных алгебраических дополнений:

.

Составим транспонированную матрицу , заменив строки столбцами:

.

Обратную матрицу составим по формуле , таким образом:

.

Найдем матрицу Х по формуле :

.

Ответ: .

в) методом Гаусса.

Решение:

Расширенная матрица системы имеет вид:

Используя элементарные преобразования, преобразуем расширенную матрицу системы.

1 шаг. Так как а₁₁ = 1≠ 0, то умножая первую строку матрицы на числа (-2) и (-3) и прибавляя полученные строки соответственно ко второй и третьей строкам, исключим переменную х из всех строк, начиная со второй:

~ .

2 шаг. Так как теперь а₂₂ = 1 ≠ 0, то умножая вторую строку на (-5) и прибавляя полученную строку к третьей, исключим из нее переменную у:

~ .

3 шаг. Получим следующую систему уравнений:

.

4 шаг. Используя обратный ход метода Гаусса, найдем из третьего уравнения ; из второго и из первого уравнения .

Ответ: .