Решите систему линейных уравнений тремя способами:
а) по формулам Крамера;
б) с помощью обратной матрицы;
в) методом Гаусса.
а) по формулам Крамера.
Решение:
Составим четыре определителя:
– главный, составлен из коэффициентов при неизвестных.
– составлен из главного, заменой столбца коэффициентов при х на столбец свободных членов, аналогично:
;
Вычисляем составленные определители по правилу треугольников:
2·2·4 + (-1)·2·1 + 1·3·(-1) - 1·2·1 - 2·2·(-1) - (-1)·3·4 = 16 – 2 – 3 – 2 + 4 + 12 = 25 ≠ 0
= 3·2·4 + (-1)·2·(-2) + 1·4·(-1) - 1·2·(-2) - 3·2·(-1) - (-1)·4·4 = 24 + 4 – 4 + 4 + 6 + 16 = 50
= 2·4·4 + 3·2·1 + 1·3·(-2) - 1·4·1 - 2·2·(-2) - 3·3·4 = 32 + 6 – 6 – 4 + 8 – 36 = 0
= 2·2·(-2) + (-1)·4·1 + 3·3·(-1) - 3·2·1 - 2·4·(-1) - (-1)·3·(-2) = - 8 – 4 – 9 – 6 + 8 – 6 = - 25
Находим решение по формулам Крамера:
; ; ;
; ; .
Проверка:
Ответ: .
б) с помощью обратной матрицы.
Решение:
Составим три матрицы:
– из коэффициентов при неизвестных.
– столбцовая из неизвестных.
– из свободных членов.
Систему можно записать в виде: , где матрица Х находится по формуле . Таким образом, нужно найти матрицу обратную для матрицы А.
|
|
Находим определитель матрицы А:
≠ 0 => А невырожденная.
Составим алгебраические дополнения элементов матрицы А:
;
;
Составим матрицу В из полученных алгебраических дополнений:
.
Составим транспонированную матрицу , заменив строки столбцами:
.
Обратную матрицу составим по формуле , таким образом:
.
Найдем матрицу Х по формуле :
.
Ответ: .
в) методом Гаусса.
Решение:
Расширенная матрица системы имеет вид:
Используя элементарные преобразования, преобразуем расширенную матрицу системы.
1 шаг. Так как а11 = 1≠ 0, то умножая первую строку матрицы на числа (-2) и (-3) и прибавляя полученные строки соответственно ко второй и третьей строкам, исключим переменную х из всех строк, начиная со второй:
~ .
2 шаг. Так как теперь а22 = 1 ≠ 0, то умножая вторую строку на (-5) и прибавляя полученную строку к третьей, исключим из нее переменную у:
~ .
3 шаг. Получим следующую систему уравнений:
.
4 шаг. Используя обратный ход метода Гаусса, найдем из третьего уравнения ; из второго и из первого уравнения .
Ответ: .