Задание 7. Исследуйте данную функцию и постройте ее график: у = 3х3 – 15х2 + 36

Исследуйте данную функцию и постройте ее график: у = 3х³ – 15х² + 36.

При исследовании функции и построении их графиков рекомендуется использовать следующую схему:

1) Найти область определения функции.

2) Исследовать функцию на четность-нечетность.

3) Найти вертикальные асимптоты.

4) Исследовать поведение функции в бесконечности, найти горизонтальные или наклонные асимптоты.

5) Найти экстремумы и интервалы монотонности функции.

6) Найти интервалы выпуклости функции и точки перегиба.

7) Найти точки пересечения с осями координат и, возможно, некоторые дополнительные точки, уточняющие график.

Решение:

1) Функция определена на всей числовой прямой, т.е. D(у) = (-∞; +∞).

2) Данная функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида):

т.е у(-x) ≠ ± у(x):

3) Вертикальных асимптот нет, так как функция определена при всех действительных значениях х.

4) Поведение функции в бесконечности:

, т.е. график данной функции асимптот не имеет.

5) Экстремумы и интервалы монотонности.

Находим первую производную:

;

у' = 0 при 9 х² – 30 х = 0.

Решая данное уравнение, получим:

x(9x – 30)=0;

х₁ = 0; х₂ = ,

т.е. критические точки х₁ = 0, х₂ = . Эти точки делят область определения функции на три промежутка: (-∞; 0), (0; ), (; +∞).

х	(-∞; 0),	х1 =0	(0; )	х2 =	(; +∞)
у'	+		–		+
у		mах		min

В первом и последнем из них у'(x) > 0, в промежутке х є (0; ) производная у'(x) < 0. Следовательно, в промежутках х є (-∞; 0), х є (; +∞) функция возрастает, а в промежутке х є (0; ) – убывает. При переходе через точку х₁ производная меняет знак с плюса на минус, а при переходе через точку х₂ – с минуса на плюс. То есть, х₁ и х₂ – точки экстремума. Находим значение функции в точках экстремума:

; Таким образом, (0;36) – точка максимума, (; – ) – точка минимума.

6) Интервалы выпуклости и точки перегиба.

Находим вторую производную:

; у'' = 0 при 18 х – 30 = 0; отсюда получаем х = .

Точка х = делит область определения функции на два промежутка х є (-∞; )

и х є (; +∞).

х	(-∞; )	х =	(; +∞)
у''	–		+
у		точка перегиба

В первом из них у'' < 0, т.е. кривая выпукла вверх, а во втором у'' > 0, т.е. кривая выпукла вниз. Следовательно, точка х = является точкой перегиба. Находим значение функции в этой точке:

Таким образом, (; ) – точка перегиба.

7) Находим точку пересечения графика с осью ОУ: при х = 0 значение функции

.

Находим точки пересечения графика функции с осью ОХ. Решим кубическое уравнение у(х) = 0.

Попробуем разложить многочлен на множители по схеме Горнера. Для начала методом подбора найдем один корень. Обычно он является делителем свободного члена. В данном случае делителями числа 36 являются ±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18, ±36.

Подставим число 1: 3*1-15*1+36 = 24. Мы выяснили, что число 1 не является корнем уравнения. Далее проверяем все делители, пока не найдем тот, который бы являлся корнем данного уравнения:

Число -1: 3*(-1)-15*1+36=18

Число 2: 3*8-15*4+36=0

Мы выяснили, что число 2 является корнем уравнения.

Мы нашли один из корней многочлена. Корнем многочлена является число 2, а значит исходный многочлен должен делиться на x – 2, т.е.:

Таким образом, уравнение представляет собой произведение двух множителей:

)() = 0

Первый корень у нас найден: x₁ = 2. Найдем оставшиеся два корня. Для этого решим уравнение

Решая данное уравнение, получим:

D = (-9)² – 4·3·(-18) = 81 + 216 = 297 = 9*33 = 3² * 33;

х₂ = ;

х₃ = .

Таким образом, функция пересекает ось ОХ в следующих точках: (;0), (2;0) и (;0)

По полученным точкам построим график данной функции:

ГРАФИК ПРИЛОЖЕН ОТДЕЛЬНЫМ ФАЙЛОМ