Задание 5. Найдите пределы функций

Найдите пределы функций.

а) ;

Решение:

На основании непрерывности функции в точке х = 7 искомый предел равен значению функции в этой точке, т.е.

.

б) ;

Решение:

Для раскрытия неопределенности вида разложим числитель и знаменатель на множители и сократим дробь на множитель (х – 1):

.

Здесь предварительно имеем , где и - корни квадратного трехчлена.

1) Числитель ; ; ;

.

2) Знаменатель ; ; ;

.

в) ;

Решение:

Имеем неопределенность вида . Учитывая, что поведение числителя и знаменателя при х → ∞ определяется членами с наибольшими показателями степеней (соответственно х³ и 3х²), разделим числитель и знаменатель на х³, т.е. на х с наибольшим показателем степени числителя и знаменателя. Используя теоремы о пределах, получим:

,

так как

; ; ; и при .

г) ;

Решение:

Имеем неопределенность вида . Используя первый замечательный предел вида , получим:

.

д)

Решение:

Имеем неопределенность вида , так как , . Используя второй замечательный предел вида , выделим у дроби целую часть:

.

Тогда получим:

.