Решение. 1. Воспользуемся формулой уравнения прямой, проходящей через две данные точки

1. Воспользуемся формулой уравнения прямой, проходящей через две данные точки:

.

подставляя координаты точек А ₁ и А ₂, получим уравнение прямой (А ₁ А ₂):

,

.

2. Составим уравнение прямой А ₃ N параллельной прямой А ₁ А ₂, используя формулу

(10)

где - направляющий вектор искомой прямой; - точка, через которую проходит искомая прямая.

Так как (А ₃ N) ÷÷ (А ₁ А ₂), то и уравнение прямой (А ₃ N), проходящей через точку А ₃ будет:

.

3. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки А ₁ А ₂ А ₃, найдём по формуле (8):

Раскрывая определитель третьего порядка по элементам первой строки, получим:

- уравнение плоскости А ₁ А ₂ А ₃.

4. Уравнение высоты (А ₄ Н), опушенной из вершины А ₄ на грань А ₁ А ₂ А ₃, найдём по формуле (10)

.

Так как (А ₄ Н) ^ (А ₁ А ₂ А ₃), то ÷÷ , где – нормальный вектор плоскости А ₁ А ₂ А ₃. Тогда уравнение прямой (А ₄ Н), проходящей через точку А ₄, имеет вид:

.

5. угол между прямой А ₁ А ₄ и плоскостью А ₁ А ₂ А ₃ найдём по формуле

(11)

где – направляющий вектор прямой А ₁ А ₄, – нормальный вектор плоскости А ₁ А ₂ А ₃.

Так как

,

то

и

ЗАДАНИЕ № 11. Найти точку пересечения прямой

и плоскости 3 x – 4 y + 5 z + 16 = 0.