Справочный материал

Основное определение группы.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Алгебра G = (G; *) типа (2) называется группой, если выполнены следующие условия:

G1. (" g ₁, g ₂, g ₃ÎG)[(g ₁* g ₂)* g ₃ = g ₁*(g ₂* g ₃)]

(ассоциативность бинарной операции *).

G2. ($ e Î G)(" g Î G)[ e * g = g * e = g ]

(существование нейтрального элемента е относительно

бинарной операции *).

G3. (" g Î G)($ s (g)Î G)[ s (g)* g = g * s (g) = e ]

(существование симметричного элемента s (g) для

каждого элемента g).

Условия G1-G3 называются аксиомами, определяющими понятие группы или просто аксиомами группы.

Определенная на группе Gбинарная операция * в общем случае не должна быть коммутативной. Если же она коммутативная, то группа называется коммутативной или абелевой, по имени норвежского математика Н.Абеля (1802-1829 г.г.), изучившего уравнения, теория которых тесно связана с теорией коммутативных групп.

Дополнительная аксиома коммутативности группы записывается так

G4. (" g ₁, g ₂Î G)[ g ₁ * g ₂ = g ₂ * g ₁].

Группа G называется конечной, если множество ее элементов G конечно; она называется бесконечной, если множество ее элементов G бесконечно. Число элементов множества G называется порядком группы и обозначается через CardG или êG ê, или O (G).