2015-05-20
1692
Этот метод — один из древнейших методов, которым пользуются и в современной математике. Хотя теоремы в абсолютном большинстве распространяются на бесконечное число объектов, в математике имеют место и такие теоремы (задачи на доказательство), которые охватывают лишь конечное число объектов. Для доказательства таких теорем можно использовать метод перебора. Так, например, для того чтобы доказать, что среди двузначных чисел есть только два числа, которые равны утроенному произведению их цифр, можно перебрать все двузначные числа от 10 до 99 и показать, что требованию теоремы удовлетворяют лишь числа 15 и 24.
Обратим внимание читателя на одно важное обстоятельство. При использовании метода перебора следует, прежде всего, посредством рассуждений несколько сузить область значений, подлежащих рассмотрению, т. е. следует, имея заведомую возможность найти решение полным перебором всех вариантов, вначале поломать голову, чтобы каким-либо образом ограничить количество вариантов. Проиллюстрируем вышесказанную мысль на такой задаче:
|
|
|
«Доказать, что среди двузначных чисел есть только одно, которое равно удвоенному произведению его цифр».
Доказательство
В соответствии с условием задачи мы должны найти двузначное число 
, для которого выполняется равенство = 2 
а 
b, т.е. 10 а + b = 2 а b. Выразим из последнего равенства а: a = 
.
Учитывая, что b — это цифра, можно записать: 0 < b < 9, b 
. Из равенства a = 
следует, что b - 5 
. Таким образом, из системы 
следует: 6 
b 9.
Хотя перебор всех натуральных значений b, удовлетворяющих неравенству 6 b 9, не сложен, но можно еще сузить область перебора, для этого заметим, что b должно быть четным. Тогда следует рассмотреть лишь b = 6, b = = 8. Итак, проведенные рассуждения позволили сузить область перебора от 90 до 10 случаев, затем до 4 и окончательно до 2 случаев. При b — 6 цифрой а будет 3, а числом будет 36. Это число удовлетворяет требованию задачи. При
b = 8 значение а будет дробным числом, но так как а — это цифра, то а дробным быть не может.
Итак, мы получили, что лишь одно двузначное число 36 равно удвоенному произведению его цифр.
