Метод полной индукции

Доказательство теоремы методом полной индукции строится следующим образом: перебираются все возможные случаи, к каждому из которых применяют либо синтетический метод, либо метод противоречия.

Примером может служить доказательство теоремы об измерении вписанного угла половиной дуги, на которую он опирается. Доказывая эту теорему методом полной индукции, мы должны рассмотреть все три возможных случая: центр окружности лежит на стороне вписанного угла, центр окружности лежит между сторонами вписанного угла, центр окружности лежит вне вписанного угла.

Итак, суть метода полной индукции заключается в том, что общее утверждение доказывается по отдельности в каждом конкретном случае из числа тех, которые могут представиться.

Более глубокому пониманию сути метода полной индукции будет способствовать решение таких задач, которые аналогичны следующей:

«Доказать, что решениями неравенства + 1 > 0 будут все действительные числа».

Доказательство

Разобьем числовую прямую на три промежутка:

а) х 0; б) 0 < x < 1; в) х 1.

Докажем, что на каждом из этих промежутков неравенство выполняется.

Если х 0, то первые четыре слагаемых, стоящие в левой части неравенства, неотрицательны, а 1 больше нуля, а значит, их сумма больше нуля.

При 0 < x < 1, группируя члены, стоящие в левой части неравенства, следующим образом: x) > 0, мы будем иметь, что все слагаемые положительны, а значит, их сумма больше нуля.

Если х 1, то группировку слагаемых проведем следующим образом: + 1 > 0.

При х 1 первые два слагаемых неотрицательны, а единица положительна, и, значит, вся сумма больше нуля.

Заметим, что речь в этой задаче шла о бесконечном числе случаев (х R) и перебрать их все не представляется возможным. Для того чтобы использовать метод полной индукции, мы разбили бесконечное число случаев на конечное число вариантов (здесь основой разбиения служит смена знака выражения), а затем каждый вариант рассматриваем в отдельности.