Аналитический метод

При аналитическом доказательстве теоремы x M: A(x) В(х) цепочка силлогизмов строится так, что мысль движется от заключения теоремы к ее условию. Различают два вида аналитического метода: восходящий анализ (анализ Паппа), нисходящий анализ (анализ Евклида).

Восходящим анализом (совершенным анализом) называется такая разновидность аналитического метода, при которой, отталкиваясь от заключения, подбирают для него достаточное условие — такое суждение (х), что (х) ⇒ В(х), затем подбирают достаточное условие (х) для (х), такое, чтобы (х) ⇒ (х) было истинным, и так далее до тех пор, пока не получат такое достаточное условие (х) для (х), что (х) ⇒ (х) и (х) выполняется (истинно). При этом используется как условие А(х) доказываемого предложения, так и некоторая совокупность Т связанных с А(х) и В(х) предложений данной теории, истинность которых уже была установлена.

Сущность метода восходящего анализа состоит в том, что рассуждения строятся по схеме: для того чтобы В(х) было верно, достаточно, чтобы было верно С(х), и т. д.

Рассмотрим доказательство теоремы методом восходящего анализа.

Теорема: «Диагонали ромба взаимно перпендикулярны».

Доказательство

1) Для того чтобы доказать, что AC ⊥ BD (рис. 21), достаточно доказать, что ВО ⊥ АС.

2) Для того чтобы доказать, что ВО АС, достаточно доказать, что ВО — высота треугольника ABC.

3) Для того чтобы доказать, что ВО является высотой треугольника ABC, достаточно доказать, что треугольник ABC равнобедренный и ВО в нем является медианой.

4) Для того чтобы доказать, что треугольник ABC равнобедренный, достаточно доказать, что в нем АВ = ВС.

5) Но АВ = ВС по условию (ABCD — ромб) и ВО — медиана треугольника ABC (так как АО = ОС по свойству диагоналей параллелограмма).

Рис. 21

Теперь, идя обратным путем, от пункта 5 к пункту 1, мы и докажем сформулированную теорему.

Нисходящим анализом (несовершенным анализом) называют такую разновидность аналитического метода, при которой, отталкиваясь от заключения В(х) доказываемого предложения А(х) ⇒ В(х), рассуждения ведут путем последовательного получения логических следствий: В(х) ⇒ (х) ⇒ (х) ⇒ (х) ⇒ (х), где (х) есть предложение, истинное значение которого нам точно известно. При выведении следствий из В(х) временно допускают, что оно истинно.

При нисходящем анализе, так же как и при восходящем, рассуждения ведут от заключения теоремы, но подбирают уже не достаточные, а необходимые условия.

При использовании нисходящего анализа возможны два основных случая.

Следствие (х), полученное из В(х), истинно. В этом случае об истинности доказываемого предложения А(х) ⇒ В(х) ничего нельзя сказать, так как из ложного предложения может следовать и истинное.

Например, из ложного предложения (а b = b а, а b) следует истинное предложение ( ).

Но в том случае, когда применение нисходящего анализа к доказательству теоремы x M: A(x) В(х) приводит к следствию (х), которое истинно, целесообразно попытаться обратить этот аналитический процесс рассуждений в синтетическое доказательство:

( (х) ∧ А(х)) (х) … (х) В(х).

В таком случае нисходящий анализ позволит нам отыскать путь синтетического доказательства.

Для примера рассмотрим доказательство теоремы: D л

«Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то четырехугольник — параллелограмм».

Доказательство

1) Пусть ABCD — параллелограмм (рис. 22). (В(х))

2) Тогда ВС || AD и АВ || DC. ( (х))

3) Тогда ∠ACB=∠CAD, ∠BAC = ∠ACD (как накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей). ( (х))

4) Из равенства этих углов с учетом того, что АС — общая сторона треугольников ABC и ADC, следует: ∆ABC = ∆ADC. ( (х))

5) Тогда AD = BC, AB = DC, АС=АС. (А(х))

Итак, имеем В(х) (х) (х) (х) А(х), где А(х) — истинно.

Проведя теперь рассуждения в обратном порядке А(х) (х) (х) (х) В(х), мы получим синтетическое доказательство.

Следствие (х), полученное из В(х), ложно, тогда всегда ложно и само В(х).

Этот случай нисходящего анализа используется и для доказательства от противного. Так, чтобы доказать истинность предложения А(х) В(х), преобразуют его в предложение А(х) и к доказательству последнего применяют метод нисходящего анализа. Если следствие (х) окажется ложным, то этим будет доказана ложность предложения А(х) , а это, в свою очередь, доказывает истинность A(x) В(х).

Рис. 22

Рассмотрим примеры доказательств методом нисходящего анализа (в данном случае мы используем метод доказательства от противного).

Теорема: «Разносторонний треугольник нельзя разбить на два равных треугольника».

Доказательство

1) Пусть ∆АВМ = ∆ВМС (рис. 23), АВ ВС АС.

2) В этих равных треугольниках ВМ — общая сторона и по теореме о том, что в равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, заключаем, что ∠ВАМ = ∠ВСМ.

3) По теореме о том, что если углы при основании треугольника равны, то треугольник равнобедренный, заключаем, что АВ = ВС.

4) Мы получили, что АВ = ВС, но по условию теоремы АВ ВС. Получили противоречие.

5) Значит, наше предположение неверно, а верно то, что

∆АВМ ∆ВМС.

C

Рис. 23

Рассмотрим пример из алгебры: «Доказать, что при любых а и b, отличных от нуля, хотя бы одно из уравнений 1992a + 2x + 1993b = 0, x - = 0 имеет корень».

Доказательство

Допустим, что оба уравнения не имеют корней. Тогда их дискриминанты должны быть отрицательны, т. е.

= 4 – 4 1993 1992 ab 0,

= 1 + 4 0.

Но из (1) следует, что произведение аb положительно, а из

(2) следует, что произведение аb отрицательно.

Противоречие доказывает наличие корня хотя бы у одного заданного уравнения при указанных условиях.

Метод доказательства от противного более точно было бы называть «доказательство противоречием» (в методической ли- тературе этот метод еще называют методом приведения к абсурду). Доказательство противоречием строится на основе конструкции противоречия, к которой затем применяется синтетический метод.