2015-05-20
231
Пусть
(11)
тогда на основании теоремы 2.1
(12)
где 
и 
- бесконечно малые функции при х 
а.
Принимая во внимание равенства (12), получаем
- постоянная - бесконечно малая функция при х а.
Согласно теореме 2.1 из последнего равенства следует, что
Поскольку
постоянная;
-бесконечно малая при х а, то на основании теоремы 2.1 получаем
Предположив, что 
, составим разность
 |
Обозначив получим
так как 
- ограниченная функция, а 
- бесконечно малая при х а. Следовательно,
Следствие1. Если каждое слагаемое алгебраической суммы функций имеет предел при х а, то предел суммы существует и равен такой же алгебраической сумме пределов слагаемых.
Следствие2. Постоянный множитель можно выносить я знак предела:
Следствие 3. Если 
и т - натуральное число, то
в частности,
Теорема 3.3
Пусть три функции и = и(х), у = у(х), v= v(x) определены в некотором промежутке, содержащем точку а.
Если для любого х из этого промежутка выполняются неравенства
(13)
и функции и = и(х), v = v(x) имеют одинаковые пределы при х а, то функция у = у(х) имеет тот же предел при х а.
 |
