Доказательство. тогда на основании теоремы 2.1

Пусть

(11)

тогда на основании теоремы 2.1

(12)

где и - бесконечно малые функции при х а.

Принимая во внимание равенства (12), получаем

- постоянная - бесконечно малая функция при х а.

Согласно теореме 2.1 из последнего равенства следует, что

Поскольку

постоянная;

-бесконечно малая при х а, то на основании теоремы 2.1 получаем

Предположив, что , составим разность

Обозначив получим

так как - ограниченная функция, а - бесконечно малая при х а. Следовательно,

Следствие1. Если каждое слагаемое алгебраической суммы функций имеет предел при х а, то предел суммы существует и равен такой же алгебраической сумме пределов слагаемых.

Следствие2. Постоянный множитель можно выносить я знак предела:

Следствие 3. Если и т - натуральное число, то

в частности,

Теорема 3.3

Пусть три функции и = и(х), у = у(х), v= v(x) определены в не­котором промежутке, содержащем точку а.

Если для любого х из этого промежутка выполняются неравен­ства

(13)

и функции и = и(х), v = v(x) имеют одинаковые пределы при х а, то функция у = у(х) имеет тот же предел при х а.