Теорема 5.4

Если функция у = f(x) непрерывна на отрезке [а, b] и на его кон­цах принимает неравные значения , то каково бы ни было число С, заключенное между А и В, найдется точка с [а, b] такая, что f(с) = С.

Геометрический смысл теоремы иллюстрируется на рис. Всякая прямая у = С, где А < С < В (или А > С > В), пересекает график функции у = f(x).

Следствие. Если функция непрерывна на отрезке и на его концах принимает значения разных знаков, то на этом отрезке най­дется хотя бы одна точка, в которой функция обращается в нуль.

В заключение отметим, что сумма конечного числа функций, непрерывных на некотором отрезке, непрерывна на этом отрезке.