Надежность сложных структур

Реальные технические системы не всегда представляют собой совокупность последовательно и параллельно соединенных элементов. Существуют и более сложные структуры, например, так называемая мостиковая схема (рис. 3.26, а). В этой структуре элементы соединены таким образом, что ее дальнейшее упрощение невозможно.

Существуют некоторые группы элементов, одновременный отказ которых приводит к разрыву всех путей, связывающих вход и выход структуры. Набор элементов, отказ которых приводит к отказу (т.е. разрыву всех связей между входом и выходом) в теории надежности называется сечением. Если выявить все сечения, содержащиеся в исследуемой структуре, и определить их надежность, то можно определить надежность всей структуры.

В структуре, представленной на рис. 3.26, а сечения образуют наборы элементов: 1,2; 3,4; 1,2,5; 1,3,4; 1,4,5; 2,3,4; 2,3,5; 3,4,5; 1,2,3,4; 1,2,3,5; 1,2,4,5; 2,3,4,5; 1,2,3,4,5.

Чем сложнее структура, чем больше в ее составе элементов, тем труднее выявить все содержащиеся в ней сечения. Так, чтобы выявить все сечения структуры на рис. 3.26,а потребовалось бы просмотреть 32 различных сочетания элементов. В общем случае для структуры, содержащей n элементов, потребуется рассмотреть 2 ⁿ – 1 сочетаний.

Среди множества сечений сложных структур имеются такие, которые образованы минимальным набором элементов – это минимальные сечения.

Минимальное сечение – это такой набор элементов в структуре, при котором система неисправна, если неисправны все элементы этого набора; исключение любого элемента из набора переводит систему в исправное состояние.

Для структуры, представленной на 3.26, а минимальными сечениями являются 1,2; 3,4; 1,4,5; 2,3,5. Если убрать в любом из этих наборов хотя бы по одному элементу, оставшийся набор уже не будет сечением.

В теории надежности выполнены исследования, которые доказывают, что надежность последовательно соединенных минимальных сечений структуры определяет нижнюю границу ее надежности. Причем, чем надежнее элементы, входящие в систему, тем точнее надежность совокупности минимальных сечений S отражает надежность всей структуры. Считаем с достаточной степенью точности, что для высоконадежных структур при соблюдении соотношения

(3.61)

надежность последовательно соединенных минимальных сечений является надежностью всей структуры.

Таким образом, приведенную на 3.26,а структуру можно преобразовать в схему последовательно соединенных минимальных сечений, каждое из которых является параллельным соединением 3.26,б.

Пример 3.11. Определить надежность схемы на 3.26а, элементы которой имеют следующие показатели надежности:

ω₁ = 0,20 год^–1; Т _в = 4,0 ч;

ω₂ = 2,00 год^–1; Т _в = 12,5 ч;

ω₃ = 3,50 год^–1; Т _в = 20,0 ч;

ω₄ = 0,50 год^–1; Т _в = 10,0 ч;

ω₅ = 5,50 год^–1; Т _в = 15,0 ч;

Решение. Проверим, соблюдаются ли условие (3.61) для приведенных показателей надежности

.

Условие 3.61 соблюдается, поэтому надежность минимальных сечений соответствует надежности всей схемы.

Для преобразованной структуры (рис. 3.26, б) определим показатели надежности минимальных сечений. Элементы 1, 2 (эквивалентный 6) по (3.20) и (3.21):

ω₆ = ω₁ω₂ (Т _в1+ Т _в2)8760^–1 = 0,753·10^-3 год^–1;

Т _в6 = Т _в1 Т _в2(Т _в1+ Т _в2) ^–1 =3,03 ч;

элементы 3, 4 (эквивалентный элемент 7)

ω₇ = ω₃ω₄ (Т _в3+ Т _в4)8760^–1 = 5,993·10^-3 год^–1;

Т _в7 = Т _в3 Т _в4(Т _в3+ Т _в4) ^–1 =6,67 ч;

элементы 1, 4, 5 (элемент 8) по формулам (3.15,б) и (3.16)

ω₈ = ω₁ Т _в1ω₄ Т _в4 ω₅ Т _в5 (Т _в1^–1+ Т _в4^–1+ Т _в5^–1)8760^1–3 = 1,8·10^–6 год^–1;

Т _в8 = (Т _в1^–1+ Т _в4^–1+ Т _в5^–1) = 2,4 ч;

элементы 2, 3, 5 (элемент 9)

ω₉ = ω₂ Т _в2ω₃ Т _в3 ω₅ Т _в5 (Т _в2^–1+ Т _в3^–1+ Т _в5^–1)8760^1–3 = 370·10^–6 год^–1;

Т _в9 = (Т _в2^–1+ Т _в3^–1+ Т _в5^–1) = 5,08 ч.

Окончательно показатели надежности структуры по последовательно соединенным элементам 6, 7, 8, 9:

ω_с ^s = ω₆ + ω₇ + ω₈ + ω₉ = 7117·10^–6 = 7,1·10^–3 год^–1;

Т _вс ^s = (ω_с ^s) ^–1 (ω₆ Т _в6+ ω₇ Т _в7+ ω₈ Т _в8+ ω₉ Т _в9) = 6,2 ч.