Приближенный метод исключения элементов

Сущность приближенного метода расчета надежности мостиковых схем методом исключения элементов заключается в том, что в структурной схеме выбираются один или несколько элементов и затем производится расчет показателей надежности для двух крайних случаев:

1) предполагается, что выбранные элементы абсолютно надежны (вероятность безотказной работы элементов равна единице);

2) предполагается, что выбранные элементы абсолютно ненадежны (вероятность безотказной работы элементов равна нулю).

В первом случае две точки системы, к которым подключается элемент, соединяются постоянной связью, во втором – между этими точками отсутствует какая – либо связь. Для двух полученных структур определяются вероятности безотказной работы, соответственно равные P _max и P _min.

Затем определяется средневзвешенное значение вероятностей безотказной работы исключаемых элементов

(3.68)

где p_i – вероятность безотказной работы i -го исключаемого элемента; n – число исключаемых элементов.

Окончательно вероятность безотказной работы системы определяется по формуле

P _с = P _min + (P _max – P _min) p _ср. (3.69)

Очевидно, если p _ср = 1 (абсолютно надежные исключаемые элементы), то P _с = P _max. Если p _ср = 0 (абсолютно ненадежные элементы), то P _с = P _min.

Особенности метода исключения элементов:

· с увеличением числа исключаемых элементов точность расчетов понижается;

· с увеличением числа элементов в системе при фиксированном числе исключаемых элементов точность расчетов повышается;

· в качестве исключаемых элементов целесообразно выбирать элементы, имеющие высокую надежность

Пример 3.13. Определить приближенно вероятность без­от­каз­ной работы системы, пред­став­лен­ной на рис. 3.30, двумя мето­да­ми: преобразованием треу­голь­ни­ка в звезду и исключением эле­мен­тов.

Вероятности безотказной рабо­ты всех элементов одинаковы: p_i = p = 0,9.

Решение. I. Преобразуем схему «треугольник», образованную элементами 1, 3, 5, в схему «звезда» с элементами 6, 7, 8 (рис. 3.31). Согласно формулам (3.63) рассчитываем вероятности отказов элементов «звезды»

q ₆ = q ₇ = q ₈ ≈ q ² ≈ (1 – p)² = (1 – 0,9)² = 0,01; p ₆ = p ₇ = p ₈ = 0,99.

Используя формулы для последовательно-параллельно соединенных элементов, определяем вероятность безотказной работы системы

Р _с = р ₆ [1– (1– р ₂ р ₇)(1– р ₄ р ₈)] = 0,99[1– (1–0,9·0,99)(1–0,9·0,99] = 0,9782.

II. Решим этот же пример методом исключения элементов. В качестве исключаемого элемента выберем элемент 5. Рассмотрим две структуры. В первой из них в месте расположения элемента 5 будет короткое замыкание (рис. 3.32). Поэтому получим

Р _max = [1– (1– р)²]² = [1– (1–0,9)²]² = 0,9801.

Во второй структуре в месте нахождения элемента 5 будет разрыв цепи (рис. 3.33). В соответствии с этим

Р _min = 1 – (1 – р ²)² = 1 – (1 – 0,9²)² = 0,9639.

С учетом р _ср = р = 0,9 на основании (3.69) окончательно получаем

Р _с = 0,9639 + (0,9801 – 0,9639)·0,9 = 0,9785.

Сравнение значений вероятностей безотказной работы, полученных рассмотренными приближенными методами, показывает, что они очень близки.