Метод преобразования треугольника в звезду и обратно

В этом случае в качестве показателей надежности используются вероятности отказов элементов. Выбор указанных характеристик объясняется тем, что метод преобразования треугольника в звезду и обратно является приближенным. Значение возникающей погрешности при оценке надежности системы зависит от вероятностей, характеризующих надежность элементов. Чем меньше эти вероятности, тем меньше погрешность оценки надежности системы. Так как обычно вероятности безотказной работы элементов близки к единице, то целесообразно использовать вероятности появления отказов.

Определим зависимости между вероятностями отказов элементов при преобразованиях, исходя из предположения, что характеристики надежности цепей, соединяющих одноименные точки в различных схемах, должны быть равны между собой.

Вначале рассмотрим точки 1 и 2 (рис. 3.28, 3.29). Вероятности отказов для цепей при условии, что точка 3 присоединена к точке 2, будут равны: для звезды q ₁ + q ₂ q ₃ – q ₁ q ₂ q ₃, а для треугольника q ₁₂ q ₃₁. Аналогично можно записать равенства и для других возможных вариантов соединения точек.

Таким образом, можно составить следующую систему уравнений:

q ₁ + q ₂ q ₃ – q ₁ q ₂ q ₃ = q ₁₂ q ₃₁;

q ₂ + q ₃ q ₁ –q ₂ q ₃ q ₁ = q ₂₃ q ₁₂; (3.62)

q ₃ + q ₁ q ₂ – q ₃ q ₁ q ₂ = q ₃₁ q ₂₃.

Считая, что вероятности отказов элементов малы, и пренебрегая произведениями q_i q_j и q _iq_j q_r – вероятностями более высокого порядка малости, чем q_i, получим следующие приближенные выражения:

q ₁ ≈ q ₁₂ q ₃₁; q ₂ ≈ q ₂₃ q ₁₂; q ₃ ≈ q ₃₁ q ₂₃. (3.63)

Перемножим соответственно левые и правые части двух первых равенств системы (3.63) и разделим на третье равенство, тогда

(3.64)

Из (3.64) после сокращения одинаковых сомножителей имеем

(3.65)

Аналогично получаем

(3.66)

Если предположить, что точка 3 в схеме «звезда» является свободной, то соответствующие вероятности появления отказов в схемах «звезда» и «треугольник» будут соответственно равны для «звезды»: q ₁ + q ₂ – q ₁ q ₂; q ₂ + q ₃ – q ₂ q ₃; q ₃ + q ₁ – q ₃ q ₁; для «треугольника»: q ₁₂ (q ₂₃ + q ₃₁ – q ₂₃ q ₃₁); q ₂₃ (q ₃₁ + q ₁₂ – q ₃₁ q ₁₂); q ₃₁ (q ₁₂ + q ₂₃ – q ₁₂ q ₂₃). Пренебрегая в этих выражениях величинами более высокого порядка малости, чем q_i (произведения q_i q_j), получим следующие приближенные зависимости:

q ₁ + q ₂ ≈ q ₁₂ q ₂₃ + q ₁₂ q ₃₁;

q ₂ + q ₃ ≈ q ₂₃ q ₃₁ + q ₂₃ q ₁₂; (3.67)

q ₃ + q ₁ ≈ q ₃₁ q ₁₂ + q ₃₁ q ₂₃.

Прибавляя к левой и правой частям первого уравнения в системе (3.67) соответственно левую и правую части третьего уравнения и вычитая соответственно левую и правую части второго уравнения, получим выражение q ₁ ≈ q ₁₂ q ₃₁, которое было получено ранее (см. первое уравнение в системе (3.63)). Таким образом, приближенные формулы (3.63), (3.65), (3.67) могут быть использованы в процессе преобразования схемы «треугольник» в схему «звезда» и обратно.