Метод секущих

Заменив производные приращениями функции f(x) и аргумента х , вычисляемыми на каждом шаге итерации, получим формулу метода секущих:

. (2.6)

Геометрический смысл данного изменения алгоритма Ньютона в том, что откасательной мы переходим к секущей (рис.2.5). Из формулы (2.6) видно, что в методе секущих необходимо задавать в качестве начального приближения две близкие точки аргумента - х₀ и х₁. Если сравнить формулу (2.6) с формулой (2.3) метода хорд, то можно сделать неверный вывод об эквивалентности метода хорд и метода секущих. Но, если метод хорд предполагает использование двух концов интервала нахождения корня (проверка знака функции и выбор интервала исходя из разных знаков), то по методу секущих берутся два последующих значения функции f(x_k-1) и f(x_k).

По методу секущих может быть как одностороннее, так и двухстороннее приближение к корню. Это зависит от вида функции и выбора начального приближения. Например, если на рис.2.5 взять х₀ и х₁ справа от корня, то получится одностороннее приближение к корню.

Программная реализация метода секущих выполнена в виде процедуры-подпрограммы Secant (ПРОГРАММА 2.1). Вся процедура практически состоит из одного цикла Repeat... Until, реализующего формулу (2.6) с учетом условия прекращения итерационного процесса (формула (2.2)). В процедуру встроена защита от зацикливания путем подсчета числа циклов с помощью переменной Niter. Как и в других процедурах, алгоритм построен так, чтобы использовать одну и ту же переменную для хранения различных величин, например R. На практических занятиях необходимо убедиться путем прогона программы в том, как сказывается выбор начальных точек на процесс поиска корня.