Нелинейных уравнений методом простых итерации

Задачу нахождения решений уравнений можно формулировать как задачу нахождения корней: , или как задачу нахождения неподвижной точки . Пусть и — сжатие: (в частности, тот факт, что — сжатие, как легко видеть, означает, что ). По теореме Банаха существует и единственна неподвижная точка Она может быть найдена как предел простой итерационной процедуры где начальное приближение — произвольная точка промежутка . Если функция дифференцируема, то удобным критерием сжатия является число . Действительно, по теореме Лагранжа Таким образом, если производная меньше единицы, то является сжатием. Условие существенно, ибо если, например, на [0,1], то неподвижная точка отсутствует, хотя производная равна нулю. Скорость сходимости зависит от величины . Чем меньше , тем быстрее сходимость. Рассмотрим уравнение: . Если в качестве взять функцию , то соответствующая итерационная процедура будет иметь вид: . Как нетрудно убедиться, метод итераций в данном случае расходится при любой начальной точке , не совпадающей с собственно неподвижной точкой . Однако можно в качестве можно взять, например, функцию . Соответствующая итерационная процедура имеет вид: .

Эти итерации сходятся к неподвижной точке для любого начального приближения : Действительно, в первом случае , т.е. для выполнения условия необходимо чтобы , но тогда . Таким образом, отображение сжатием не является.

Рассмотрим , неподвижная точка та же самая, ситуация другая. Здесь, хотя формально производная может быть довольно большой (при малых ж), однако уже на следующем шаге она будет меньше 1.