Линейная и квадратичная интерполяция по формуле лагранжа

Этим требованиям отвечает коэффициент вида:

(6.3.2-3)Поскольку в числителе Q₀(x) записано произведение разностей со всеми узлами кроме х₀, то Q₀(x ) обращается в ноль при х = х_i; i = 1, 2, …, n. В то же время при х = х₀числитель и знаменатель дроби взаимно сокращаются и Q₀(x₀)=1.

Для того чтобы L_n(x₁) = y₁, коэффициенты в (6.3.2-2) должны принять значения:

Q₁(x₁) = 1; Q₀(x₁) = 0… Q_n(x₁) = 0.

Чтобы в других узлах коэффициент Q₁(x), связанный с y_i, принял значение ноль, нужно, чтобы Q₁(x_i) = 0, i = 0, 2, 3, …, n. Тогда произведение разностей в числителе обращается в ноль во всех узлах, кроме х₁, а при х = х₁ коэффициент равен 1.

Обобщая сказанное выше, получим выражение для Q_i(x):

(6.3.2-4)

Для интерполяционного многочлена Лагранжа это выражение будет следующее:

. (6.3.2-5)

Несмотря на громоздкость (6.3.2-5), одним из преимуществ формулы Лагранжа является возможность ее записи непосредственно по заданной таблице значений функции. Для этого следует учесть следующее правило: формула содержит столько слагаемых, сколько узлов в таблице; каждое слагаемое – это произведение дробного коэффициента на соответствующее значение y_i; числитель коэффициента при y_i содержит произведение разностей х со всеми узлами кроме а знаменатель повторяет числитель при х = .

Используя приведенные правила, получим формулы Лагранжа для двух узлов ( n=1 ) - линейная интерполяция:

для трех узлов ( n=2 ) - квадратичная интерполяция:

Оценку погрешности формулы Лагранжа определяют исходя из приближенного равенства где m – число узлов, используемое в формуле.Для того, чтобы уменьшить погрешность интерполяции, используется прием перенумерации узлов исходной таблицы, последовательно выбирая в качестве х₀, , х₂ и т.д. узлы, наиболее близко расположенные к искомой точке х, по возможности симметрично относительно точки х₀. Такой прием позволяет уменьшить степень интерполяционного полинома для достижения требуемой точности (не использовать все заданные узлы).