Формула прямоугольников на частичном отрезке и ее погрешность

Рис.2

Заменим интеграл (3) выражением , где

Тогда получим формулу

(5)

которая называется формулой прямоугольников на частичном отрезке

Погрешность метода (5) определяется величиной

которую легко оценить с помощью формулы Тейлора. Действительно, запишем в виде

(6)

и воспользуемся разложением

где . Тогда из (6) получим

Обозначая , оценим следующим образом:

Таким образом, для погрешности формулы прямоугольников на частичном отрезке справедлива оценка

(7)

т.е. формула имеет погрешность при .

Заметим,что оценка (7) является неулучшаемой, т.е. существует функция , для которой (7) выполняется со знаком равенства. Действительно, для имеем и