Рассмотрим условие

Если и заданы, то равенство уравнение (2) обеспечивается при

Если задано только , а не задано, тогда то равенство обеспечивается при

Если не задано, а задано, тогда , то равенство уравнение (2) обеспечивается при

Если не задано и не задано то равенство уравнение)2) обеспечивается уравнением (2) обеспечивается при

,

Обобщение на п- случай

Пример: , ,

Уравнение , ,

, ,

х=t

Т.е.

Проверка:

,

По условию в любом случае, поэтому такие при

т. е при

Вопрос 3. Синтез оптимальных систем методом динамического программирования.

В основе синтеза оптимального управления лежат два принципа:

-Синтез оптимального управления как функции времени и начального состояния системы (программное управление)

-Синтез оптимального управления как функции от текущих фазовых координат состояния ОУ и времени (управления по ОС)

Первое направление называется разомкнутой формой управления, второе замкнутой.

Наиболее предпочтительным является -второй принцип, его основана на методе динамического программирования предложенного Беллманом.

В основе динамического программирования лежит принцип оптимальности.

Рассмотрим оптимальную траекторию системы в трехмерном фазовом пространстве:

Начальное положение задается точкой А при

Конечное положение точкой В при

Пусть система перешла из т. А в т. С по оптимальной траектории (кривой 1)

Принцип гласит: что дальнейшее движение должно быть оптимальным (кривая 2). Т.е. независимо от того, каким образом система пришла в т.С. дальнейшее ее движение должно быть оптимальным.

Рассмотрим систему описываемую д.у.

, ,

Управление и необходимо выбрать так, чтобы функционал качества

(1)

Рассмотрим некоторый момент времени

Если принять значение х(t) за начальное, то на интервале управление и(t) оптимальное в смысле минимума функционала J совпадает с оптимальным управлением и(t) для

2 Вопрос вывод управления динамического программирования

На основании структуры функционала J определим оптимальную функцию стоимости (функция Беллмана)

(2)

где -это есть и(t) интервале

t-текущее время

Отсюда очевидно, что

Допущение: V-непрерывна и имеет непрерывные частные производные до 20го порядка включительно.

Представим выражение в виде суммы

Таким образом:

(3)

Это соотношение получено, исходя из принципа оптимальности не зависит от предыстории не влияет на

Второе слагаемое в (3) есть функция Беллмана

Таким образом,

(4)

Поэтому =

Второе слагаемое в (4) может быть разложено в ряд Тейлора

(5)

Подставляя (5) в (4) получим

или (т.к. не зависит от и)

(6)

Разделим левую и правую часть на и устремляем его к нулю получим

(7)

-функция которая определяет

Уравнение (7) получено название динамического программирования или уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана.

Оно решается при граничном условии

(8)

Т.о. для определения оптимального необходимо решить уравнение Беллмана с краевым условием (8)

Рассмотрим векторное обобщение:

Пусть

Поскольку V –функция стоимости, то V Т.о. уравнение Беллмана имеет вид

, (9)

где

, .