Квадратурная формула Симпсона

Вычислим, при каком шаге h погрешность составит 0,01:

При шаге , отрезок разбивается на N=40 равностоящих узлов.

Как и следовало ожидать, наименьшее количество равностоящих узлов N=40 получается при вычислении интеграла по квадратурной формуле Симпсона.

Апостериорная оценка погрешности методом Рунге. Автоматический выбор шага интегрирования.

Пусть - квадратурная формула, примененная на частичном отрезке и имеющая порядок m, то есть . Для формул прямоугольников и трапеций m = 3, а для формулы Симпсона m = 5. Проведем на каждом частичном отрезке все вычисления дважды, один раз с шагом , другой раз с шагом . Тогда справедлива оценка:

Если для заданного правая часть не превосходит , то получим:

то есть будет достигнута заданная точность .

Если же на каком-то из частичных отрезков эта оценка не будет выполняться, то шаг на этом отрезке надо измельчить еще в два раза и снова оценить погрешность. Заметим, что для некоторых функций такое измельчение может продолжаться слишком долго. Поэтому в соответствующей программе следует предусмотреть ограничение сверху на число измельчений, а также возможность увеличения .