Рекуррентная процедура

Данный способ основан на представлении спектральной плот­ности в виде дробно-рациональной функции, т.е. отношением двух полиномов:

(2.49)

Если m < r, a₀ =1 и коэффициенты b_m по модулю меньше еди­ницы, то справедливо разностное уравнение:

(2.50)

где x[n] - стационарная последовательность независимых стандартных нормальных случайных величин (нормальный дискрет­ный белый шум);

x[n] - стационарная последовательность нормальных случайных величин, коррелированная по заданному закону.

Применение зависимости (2.50) с точки зрения исследования линейных стационарных систем означает, что искомая последова­тельность x[n] на выходе системы получается, если на ее вход подать нормальный дискретный белый шум, у которого спектраль­ная плотность постоянна и равна 1. Тогда, как известно, спектральная плотность выходной последовательности определяет­ся по зависимости:

(2.51)

где Ф(iw) - передаточная функция системы, которую можно представить в виде (2.49), если перейти к комплексной перемен­ной.

Из (2.50) следует:

(2.52)

Построим моделирующий алгоритм для СНСП, имеющего корре­ляционную функцию (2.38) и спектральную плотность (2.45):

Для последовательности x[n] данные выражения примут вид:

где r= exp(-aDt).

Перепишем S_п(w) в виде:

Полагая в первой сумме -n=p, а во второй n=p и принимая во внимание K(-p)=K(p), перепишем полученную формулу в виде:

(2.53)

Подставляя сюда выражение корреляционной функции, нетруд­но убедится в том, что обе суммы представляют собой геометри­ческие прогрессии. Суммируя их, получим следующее выражение спектральной плотности рассматриваемой стационарной случайной последовательности:

(2.54)

В результате элементарных преобразований данной зависи­мости можно придать вид:

(2.55)

Сравнивая полученное выражение с (2.49) и учитывая (2.51), нетрудно получить:

(2.56)

На основании (2.52) моделирующий алгоритм примет вид:

(2.57)

В качестве начального значения x[0] можно принять матема­тическое ожидание.