Основные теоретические положения. Говорят, что на плоскости задана полярная система координат, если заданы

Говорят, что на плоскости задана полярная система координат, если заданы:

-некоторая точка О, называемая полюсом,

-некоторый луч и, исходящий из точки О называемый полярной осью.

Полярными координатами точки М называются два числа:

r >0 - полярный радиус, равный расстоянию от точки О до точки М,

j - полярный угол, равный углу, на который следует повернуть ось и для того, чтобы ее направление совпало с направлением вектора (рис. 1).

рис. 1.

Запись М(r,j) означает, что точка М имеет полярные координаты r и j.

Зададим на плоскости декартову систему координат таким образом, чтобы начало координат совпадало с полюсом полярной системы координат, а направление положительной полуоси абсцисс совпадало с направлением полярной оси (рис. 2).

рис. 2.

Тогда связь между декартовыми координатами точки М(х,у) и полярными координатами этой точки дается формулами:

, ;

, .

Уравнение кривой в полярной системе координат имеет вид или . Оно может быть получено либо непосредственно, исходя из свойств кривой, либо переходом к полярным координатам в уравнении этой кривой в декартовой системе координат.

Пример 1. Построим кривую - спираль Архимеда.

Решение. Будем придавать j значения от 0 до с шагом . Составим таблицу значений j и r (для вычисления значений r можно использовать возможности MathCAD):

j
r		1.178	2.356	3.534	4.712	5.89	7.069	8.247	9.425

j
r	10.603	11.781	12.959	14.137	15.315	16.493	17.671	18.85

Фиксируем на плоскости точку О и проводим полярную ось и. Выберем также единичный отрезок.

Значению j= 0 соответствует r= 0, т.е. первая точка кривой – точка О. Далее проводим из точки О луч под углом к полярной оси и отмечаем на этом луче точку на расстоянии 1.178 от начала координат. Затем проводим луч под углом и отмечаем точку на расстоянии 2.356, и т.д. Соединив полученные точки в той последовательности, в которой их отмечали, построим кривую.