2015-05-10
8016
1. Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную графиком функции 
, прямыми 
и осью Ох. Если эту трапецию вращать вокруг одной из координатных осей, то получится некоторое объёмное тело. Объём полученного тела вращения можно вычислить при помощи определённого интеграла:
- если трапеция вращается вокруг оси Ох, то 
;
- если трапеция вращается вокруг оси Оу, то 
.
Если вращается фигура, ограниченная кривыми 
и 
, и прямыми , то формулы для вычисления объёма запишутся соответственно:
и 
.
2. Если фигура, ограниченная кривой, заданной параметрически 
где 
, вращается вокруг оси Ох или Оу, то объемы получающихся тел вращения вычисляются по формулам:
и 
.
3. В полярных координатах криволинейный сектор, ограниченный кривой 
и лучами 
и 
, можно вращать вокруг полярной оси. Объём получающегося тела вращения вычисляется по формуле:
.
Пример 1. Найдем объём тела, образованного вращением вокруг полярной оси кардиоиды 
.
Решение. Построим кардиоиду:
Видим, что при изменении j от 0 до 
получается фигура, симметричная относительно полярной оси. Тело вращения получается при вращении вокруг полярной оси только одной её части, например, той, что расположена выше полярной оси. Поэтому интеграл вычисляем в пределах от 0 до p.
