Площадь плоской фигуры

1. Фигура ограничена кривой (или кривыми), заданной явной функцией :

, где

Рис. 1.

2. Фигура ограничена кривой, заданной параметрически где . Тогда её площадь равна .

3. Фигура ограничена кривой, заданной в полярной системе координат:

, где

Рис. 2.

Пример 1. Вычислим площадь фигуры, ограниченной линиями и .

Решение. Построим фигуру, площадь которой необходимо найти:

Найдем точки пересечения графиков заданных функций, решив систему уравнений:

Это будут точки и .

Т.к. для всех , то для вычисления площади используем формулу (рис.1). Определённый интеграл при этом вычислим двумя способами:

Замечание. Если абсциссы точек пересечения графиков функций определяются по рисунку, систему уравнений можно не решать.

Пример 2. Найдем площадь, ограниченную одной аркой циклоиды

Решение. Напомним, что одна арка циклоиды образуется при изменении .

Для вычисления площади нам потребуется производная от функции . Найдем ее отдельно и далее используем при вычислениях. Интеграл, как и в предыдущем случае, вычислим двумя способами.

Пример 3. Вычислим площадь фигуры, ограниченной окружностью и кардиоидой (вне кардиоиды).

Решение. Построим фигуру, площадь которой необходимо найти:

Значение j, при которых кривые пересекаются, можно определить, решив систему уравнений:

Этими значениями будут и .

Используя формулу (рис. 2) и учитывая, что для всех , вычисляем искомую площадь:

Замечание. Если фигура симметрична относительно какой-либо из осей, то в некоторых случаях при вычислении интеграла может получиться ноль. В этом случае следует вычислить площадь одной из симметричных частей, а для нахождения искомой площади умножить результат на число таких одинаковых частей.