О задаче взаимного корреляционно-спектрального оценивания

Пусть даны выборочные реализации двух случайных процессов с дискретным временем (случайных последовательностей) . Если процессы являются стационарными и стационарно-связанными, то их важной количественной характеристикой является взаимная корреляционная функция

, (26)

Здесь - знак математического ожидания,

- среднее значение первого процесса (отметим, что оно постоянно в случае стационарно-связанных процессов при всех ),

- среднее значение второго процесса,

* - знак комплексного сопряжения (для действительнозначных процессов на него просто можно не обращать внимания).

Оценка этой важной характеристики по имеющимся конечным выборкам может быть вычислена в виде:

(27)

где , - оценки средних значений по выборкам.

Обратите внимание, что общая длина корреляционной функции – - отсчетов, т.е. в два раза больше длин исходных реализаций.

Примечание 1: Как быть, если длины реализаций разные, например, .

Можно дополнить короткую реализацию своими средними значениями до большей длины и применить (27). При этом слева или справа несколько отсчетов оценки корреляционной функции будут нулевыми. Ну и пусть будут. А можно ничего не дополнять, а просто аккуратно реализовать вычисления в (1), подставляя в верхнем пределе суммы в случае расчета вместо - , а при расчете - .

При больших N целесообразно использовать более быстрый способ вычисления оценки корреляционной функции (27) на основе процедуры быстрого преобразования Фурье (БПФ). При этом обычно возрастают требования к размеру оперативной памяти.

Шаг 1. Центрируем исходные реализации (вычитаем из каждой свое среднее значение)

Шаг 2. Дополняем центрированные реализации нулями до ближайшей к удвоенной длине степени двойки, например было , а стало . Это требование метода расчета процедуры БПФ по основанию 2.

Шаг 3. Находим с помощью БПФ дискретные преобразования Фурье (ДПФ) обеих расширенных последовательностей:

и ,

!!! Используем именно БПФ, иначе ничего не выиграем, а только проиграем.

Шаг 4. Составляем новый комплексный массив:

Шаг 5. Выполняем обратное преобразование Фурье c помощью БПФ

Шаг 6. Получаем оценку взаимной корреляционной функции:

(28)

Взаимная спектральная плотность мощности

Взаимная спектральная плотность мощности двух стационарно-связанных случайных процессов определяется как Фурье преобразование от взаимной корреляционной функции:

(29)

Для ее оценивания используют два подхода:

а) корреляционный, когда предварительно строят оценку (27), а потом с помощью обратного БПФ получают оценку спектральной плотности

б) периодограммный, который применяется чаще и на котором мы остановимся.

Шаг 1. Расширяем исходные реализации вправо дополнением их среднего значения до ближайшей степени двойки. Т.е. было , а стало .

Шаг 2. Находим с помощью БПФ дискретные преобразования Фурье (ДПФ) обеих расширенных последовательностей:

и ,

Шаг 3. Формируем «несглаженную» оценку взаимной спектральной плотности

Шаг 4. Формируем сглаженную оценку

(30)

На краях суммирование производится в предположении периодического продолжения области определения оценки по индексу k – [0,N-1].

Шаг 5. Отображение.

Замечание 1. В силу свойств симметрии оценки достаточно отображать лишь первую половину отсчетов ().

Замечание 2. Оценка - комплекснозначная, для отображения же нужны некие действительные функции. В системах обработки сигналов при проведении взаимного спектрального анализа обычно предоставляется возможность отображения следующих шести действительнозначных функций:

1. - т.н. “синфазная” составляющая спектра (реальная часть)