Классическое определение вероятности. Вероятность – одно из основных понятий теории вероятностей

Вероятность – одно из основных понятий теории вероятностей. Существует несколько определений этого понятия.

Рассмотрим пример. Пусть в урне содержится 6 одинаковых, тщательно перемешанных шаров, причем 2 из них — красные, 3 — синие и 1—белый. Очевидно, возможность вынуть наудачу из урны цветной (т. е. красный или синий) шар больше, чем возможность извлечь белый шар. Можно ли охарактеризовать эту возможность числом? Оказывается, можно. Это число и называют вероятностью события (появления цветного шара). Таким образом, вероятность есть число, характеризующее степень возможности появления события.

Для количественной оценки возможности того, что результат взятий наудачу – цветной шар: появление цветного шара будем рассматривать в качестве события А. Каждый из возможных результатов испытания (испытание состоит в извлечении шара из урны) назовем элементарным исходом (элементарным событием). Элементарные исходы обозначим через w₁, w₂, w₃ и т. д. В нашем примере возможны следующие 6 элементарных исходов: w₁ – появился белый шар; w₂ , w₃ – появился красный шар; w₄, w₅ , w₆ —появился синий шар.

Легко видеть, что эти исходы образуют полную группу попарно несовместных событий (обязательно появится только один шар) и они равновозможны (шар вынимают наудачу, шары одинаковы и тщательно перемешаны).

Те элементарные исходы, в которых интересующее нас событие наступает, назовем благоприятствующими этому событию. В нашем примере благоприятствуют событию А (появлению цветного шара) следующие 5 исходов: w₂ , w_3, w₄, w₅ , w_6.

Таким образом, событие А наблюдается, если в испытании наступает один, безразлично какой, из элементарных исходов, благоприятствующих А; в нашем примере А наблюдается, если наступит w₂ , или w_3, или w₄, или w₅ , или w₆. В этом смысле событие А подразделяется на несколько элементарных событий (w₂ , w_3, w₄, w₅ , w₆); элементарное же событие не подразделяется на другие события. В этом состоит различие между событием А и элементарным событием (элементарным исходом).

Отношение числа благоприятствующих событию А элементарных исходов к их общему числу называют вероятностью события А и обозначают через Р(А). В рассматриваемом примере всего элементарных исходов 6; из них 5 благоприятствуют событию А. Следовательно, вероятность того, что взятый шар окажется цветным, равна Р(А) = 5/6. Это число и дает ту количественную оценку степени возможности появления цветного шара, которую мы хотели найти.

Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу и определяется формулой:

Р(A)= m/n, где m – число элементарных исходов, благоприятствующих А; n — число всех возможных элементарных исходов испытания.

Здесь предполагается, что элементарные исходы несовместны, равновозможны и образуют полную группу.

Из определения вероятности вытекают следующие ее свойства:

Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице.

Действительно, если событие достоверно, то каждый элементарный исход испытания благоприятствует событию. В этом случае m = n, следовательно, 1.

P(A)=m/n=n/n=1

Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю.

Действительно, если событие невозможно, то ни один из элементарных исходов испытания не благоприятствует событию. В этом случае m = 0, следовательно,

P(A) = m/n=0/n=0

Свойство 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

Действительно, случайному событию благоприятствует лишь часть из общего числа элементарных исходов испытания. В этом случае 0 <m < n, значит, 0< m/n <1, следовательно,

0 < P(A) < 1

Итак, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству 0 ≤ P(A) ≤ 1.