Условная вероятность

Случайное событие определено нами как событие, которое при осуществлении совокупности условий S может произойти или не произойти. Если при вычислении вероятности события никаких других ограничений, кроме условий S, не налагается, то такую вероятность называют безусловной; если же налагаются и другие дополнительные условия, то вероятность события называют условной. Например, часто вычисляют вероятность события В при дополнительном условии, что произошло событие А. Заметим, что и безусловная вероятность, строго говоря, является условной, поскольку предполагается осуществление условий S.

Условной вероятностью Р_А(В) называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило.

Пример. В урне 3 белых и 3 черных шара. Из урны дважды вынимают по одному шару, не возвращая их обратно. Найти вероятность появления белого шара при втором испытании (событие В), если при первом испытании был извлечен черный шар (событие А).

Решение. После первого испытания в урне осталось 5 шаров, из них 3 белых. Искомая условная вероятность Р_А(В)=3/5.

Этот же результат можно получить по формуле

Р_А (В)=Р (АВ)/Р(А) (Р(А) > 0). (условная вероятность)

Действительно, вероятность появления белого шара при первом испытании

Р(А) = 3/6=1/2.

Найдем вероятность Р(АВ) того, что в первом испытании появится черный шар, а во втором – белый. Общее число исходов – совместного появления двух шаров, безразлично какого цвета, равно числу размещений А₆³ = 6*5 = 30. Из этого числа исходов событию АВ благоприятствуют 3*3=9 исходов. Следовательно, Р(АВ)=9/30=3/10.

Искомая условная вероятность Ра (В)=Р (АВ)/Р(А) = (3/10)/(1/2) = 3/5.

Теорема. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило: P(AB)=P(A)*P_A(B).

Следствие. Вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появились:

Р(A₁A₂A₃...А_n) = Р(А1) P_A1(A₂) Р_A1A2(A₃) … P_A1A2…An-1(An), где P_A1A2…An-1(An) – вероятность события А_n, вычисленная в предположении, что события A₁A₂A₃...А_n-1 наступили.

Пример 1. У сборщика имеется 3 конусных и 7 эллиптических валиков. Сборщик взял один валик, а затем второй. Найти вероятность того, что первый из взятых валиков – конусный, а второй – эллиптический.

Решение. Вероятность того, что первый валик окажется конусным (событие А), Р(А)=3/10.

Вероятность того, что второй валик окажется эллиптическим (событие В), вычисленная в предположении, что первый валик – конусный, т. е. условная вероятность РА(В)=7/9.

По теореме умножения, искомая вероятность Р (АВ) = Р (А)Р_А(B)=(3/10)(7/9) = 7/30.